Luku 2 Kinematiikkaa kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa
Tässä luvussa tutustutaan 2- ja 3-ulotteiseen liikkeeseen. Esitietoina hyvä olla perusasiat vektoreista, derivaatasta ja integraalista. Vektoreista on hyvä tietää, miten vektori jaetaan komponentteihin ja miten vektorin komponentit määrittelevät vektorin. Derivaatasta on hyvä tietää yksinkertaiset derivoimissäännöt ja funktion ääriarvon etsiminen. Integraalia käytetään opetusvideoilla raja-arvona funktion alle jäävästä pinta-alasta. Integroida ei tarvitse osata kuin polynomeja.
Tämä materiaali liittyy lukion fysiikan kurssiin/moduuliin voima ja liike, mutta matemaattisten esitietojen vuoksi on syytä harkita, missä vaiheessa kurssia tätä materiaalia hyödyntää. Syventävässä materiaalissa on luku sähkö- ja magneettikentistä, jota voi hyödyntää sähkömagnetismin kurssilla.
Alaluvussa 1.1 harjoitellaan derivaatan ja integraalin käyttämistä liikkuvan kappaleen paikan, nopeuden ja kiihtyvyyden määrittämiseen. Alaluvussa 1.2 tutustutaan, miten yksiulotteinen kinematiikka yleistyy vektoreiden avulla 2- ja 3-ulotteiseen kinematiikkaan. Alaluvussa 1.3 syvennytään heittoliikkeeseen. Jokainen näistä luvuista käsittää opetusvideon ja aiheeseen liittyviä tehtäviä. Matemaattisista taidoista riippuen jokaiseen näistä luvuista on hyvä varata 30-45 minuuttia.
Osiossa 2 perehdytään koordinaatistoihin ja niiden käyttämiseen fysiikassa. Koordinaatistot ovat aina karteesisia. Tämän luvun opetusvideot ovat englanniksi. Tehtävissä tutkitaan sitä, miten erilaisissa tilanteissa voi ja kannattaa valita koordinaatisto. Tämän luvun tehtävät ovat lähinnä käsitteellisiä ja luvun opiskeluun voi varata noin 30 minuuttia.
Osio 3 käsittelee suhteellista liikettä ja Galilein muunnoksia. Tässä luvussa on hieman enemmän tehtäviä ja viimeiset tehtävät vaativat osaamista vektoreista ja trigonometriasta. Opetusvideo on lyhyt (5 min), joten käsitteelisellä tasolla tämän asian opiskeluun ei mene kauaa. Viimeiset tehtävät voivat olla haastavia ja niihin voi varata 15-30 min per tehtävä.
Osiossa 4 palataan tutkimaan alussa esiteltyä pulmaa ja ratkaistaan se tukikysymysten avulla.
Osiossa 5 on syventävää materiaalia ja haastavia tehtäviä. Sähkömagnetismin osalta käsitellään nopeudesta riippuvia voimia ja sitä, miten nämä voimat havaitaan eri koordinaatistoissa. Tarkoituksena on vahvistaa linkkiä sähkö- ja magneettikenttien välillä. Alaluku 5.1 sopii käytettäväksi sähkömagnetismin kurssilla/moduulissa esimerkiksi induktion yhteydessä.
Esimerkki 2.0.1. Esimerkkisysteemi.
Tarkastellaan heittoliikettä. Kiinnitetään koordinaatisto siten, että seisot origossa, y-akselin osoittaessa ylöspäin. Heität pallon lähtönopeudella \(v_0\text{.}\) Mihin kaikkiin pisteisiin voit osua x-y-tasossa, kun voit valita pallon lähtökulman vapaasti? Mikä on paras kulma heittää pallo, jos haluat heittää mahdollisimman kauas?
Näiden tilanteiden analysoimiseen tarvitaan melko paljon taustatietoa. Kinematiikassa nopeutta ja kiihtyvyyttä voidaan käsitellä derivaatan ja integraalin avulla. Kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa liikettä analysoidaan vektoreiden avulla. Kun systeemejä tutkittaessa pitää ottaa suunnat huomioon, täytyy valita jokin koordinaatisto, jonka mukaan suunnat ilmoitetaan. Tätä varten tutustutaan koordinaatistojen valitsemiseen ja suhteelliseen liikkeeseen eri koordinaatistoissa.
Pohditaan vielä pulmaa, johon palataan, kun tarvittavat esitiedot on kasassa. Tarkoitus on heittää pallo pallonmuotoisen rakennuksen katolle korkeimpaan kohtaan ilman, että pallo osuu matkalla rakennukseen. Mikä on pienin lähtönopeus, jolla heitto onnistuu? (Yksi esimerkki pallonmuotoisesta rakennuksesta on Nagoya City Science Museum)
Jos haluat jo alkaa pohtimaan tätä tehtävää, voit käyttää tietoa, että kun pallo lähtee origosta alkunopeudella \(v_0\text{,}\) kaikki pisteet joihin voi osua saadaan epäyhtälöstä
jossa \(y_0\) ja \(k\) ovat selvitettäviä vakioita.