Siirry pääasiaan

Alaluku 6.1 Vektorit

Fyysikoilla on useita tapoja merkitä vektoreita erilaisten mieltymysten ja soveltuvuuksien mukaan. Kaikki nämä merkinnät ovat yhtäläisiä. Joskus on tarpeen korostaa vektorin komponentteja ja joskus täytyy erottaa vektorisuureet skalaareista.

\begin{equation*} \textbf{r} = \vec{r} = (r_1,r_2) %= \langle r_1,r_2 \rangle = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \end{bmatrix} \end{equation*}

Tässä materiaalissa käytetään kirjaimen yllä olevaa nuolta merkitsemään vektoreita: \(\vec{v}\text{.}\)

Yksikkövektoreita merkitään kirjaimen päällä olevalla hatulla. Karteesisten akselien (\(x\text{,}\)\(y\) ja \(z\)-akselien) suuntaisia yksikkövektoreita merkitään yleensä \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) ja yleistä johonkin muuhun suuntaan osoittavaa yksikkövektoria esimerkiksi \(\hat{r}\text{.}\)

Joskus käytetään toista tapaa merkitä akselien suuntaisia yksikkövektoreita

\begin{equation*} \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z. \end{equation*}

Vektorin voi esittää sen komponenttien ja yksikkövektoreiden avulla aiempia merkintätapoja käyttämällä

\begin{equation*} \vec{r} = r_x\hat{i} + r_y\hat{j} + r_z\hat{k} = r_x \vec{e}_x + r_y \vec{e}_y + r_z \vec{e}_z \end{equation*}

Vektorisuure voi riippua ajasta tai jostain muusta suureesta, jolloin se on funktio

\begin{equation*} \vec{r}(t) = (r_1(t), r_2(t), r_3(t)) = r_x(t)\hat{i} + r_y(t)\hat{j} + r_z(t)\hat{k} \end{equation*}

Vektorin pituutta merkitään usein samalla kirjaimella kuin vektoria

\begin{equation*} |\vec{r}| = \sqrt{r_1^2 + \dots + r_n^2} = r, \end{equation*}

mutta sekaannusten välttämiseksi on syytä suosia merkintää \(|\vec{r}|\text{.}\)

Erilaisia fysiikassa esiintyviä vektorisuureita ovat esimerkiksi: nopeus, kiihtyvyys, liikemäärä, voima, pyörimismäärä, sähkökenttä, magneettikenttä ja dipolimomentti.

Fysiikassa esiintyy myös funktioita, jotka riippuvat useasta muuttujasta. Katso video Kahden muuttujan funktio. Fysikaalinen esimerkki tällaisesta funktiosta voi olla vaikkapa paikasta riippuva sähkökenttä

\begin{equation*} \vec{E} = \vec{E}(x,y,z) = \vec{E}(\vec{r}). \end{equation*}

Huomaa, että monen muuttujan funktion voi käsittää funktiona, jonka muuttujana on vektori.

Koska nopeus on vektori, myös liikemäärä on silloin vektori

\begin{equation*} \vec{p} = m\vec{v}. \end{equation*}

Newtonin II:n lain voi kirjoittaa vektorien ja derivaattojen avulla eri muodoissa

\begin{equation*} \vec{F} = m \vec{a} = m \frac{\dee \vec{v}}{\dee t} = \frac{\dee \vec{p}}{\dee t} = m\frac{\dee^2 \vec{x}}{\dee \vec{x}^2} \end{equation*}

Sähkövaraukset kohdistavat toisiinsa Coulombin voiman

\begin{equation*} \vec{F}_C = \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r}_1-\vec{r}_2}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|^3} = \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0} \frac{\hat{r}_{12}}{|\vec{r}_{12}|^2}, \end{equation*}

jossa \(\vec{r}_1\) ja \(\vec{r}_2\) ovat varausten paikkavektorit.

Pistemäinen varaus luo sähkökentän

\begin{equation*} \vec{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\hat{r}}{|\vec{r}|^2}, \end{equation*}

jossa \(\vec{r}\) on paikkavektori tutkittavasta pisteestä varaukseen.

Alaluku 6.1.1 Komponentteihin jakaminen

Monessa fysiikan ongelmassa vektorin komponentit ovat tärkeitä ja helpottavat tutkittavan ilmiön dynamiikan tarkastelua. Montaa tilannetta voi tarkastella \(xy\) -koordinaatistossa siten, että \(\theta\) on kiertokulma \(x\)-akseliin nähden. Tällöin vektorin \(\vec{r}\) komponentit ovat

\begin{equation*} r_x = |\vec{r}|\cos \theta \ja r_y = |\vec{r}|\sin \theta. \end{equation*}

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

Mikä on sähkökentän voimakkuus ja suunta alla olevan kuvan merkityssä pisteessä?

Ratkaisu

Merkitään ylempää varausta \(q_1\text{:}\)llä ja alempaa varausta \(q_2\text{:}\)lla. Molemmat varaukset ovat positiivisia, joten sähkökenttä pisteessä \(P\) osoittaa poispäin varauksista. Kiinnitetään koordinaatisto siten, että varaukset sijaitsevat y-akselilla ja origo on pisteiden puolessavälissä.

\(q_1\text{:}\)n aiheuttama sähkökenttä on

\begin{equation*} \vec{E}_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q_1|}{r_1^2} \end{equation*}

ja suunta on \ang{45} x-akselista alavasemmalle. Akseleiden suuntaisten yksikkövektoreiden \(\hat{i}\) ja \(\hat{j}\) avulla

\begin{align*} \vec{E}_1 \amp = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q_1|}{r_1^2} (\cos(\ang{45})\hat{i} - \sin(\ang{45})\hat{j}) \\ \amp = \frac{(\SI{9,0\eplus 9}{\newton\meter\squared/\coulomb\squared})(\SI{3,0\eminus9}{\coulomb})}{(\SI{0,050}{\meter})^2+(\SI{0,050}{\meter})^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} \right) \\ \amp = (\SI{5400}{\newton/\coulomb})\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} \right) \end{align*}

Vastaavasti varauksen \(q_2\) sähkökentäksi saadaan

\begin{align*} \vec{E}_2 \amp = (\SI{5400}{\newton/\coulomb}) \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} \right) \\ \implies \vec{E}_\mathrm{kok} \amp = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 2(\SI{5400}{\newton/\coulomb})\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i}\right) \\ \amp = (\SI{7,6\eplus 3}{\newton/\coulomb}) \hat{i} \end{align*}
2.

Kirjoita heittoliikkeessä olevan kappaleen nopeuden \(x\)- ja \(y\)-komponentit ajan funktiona, kun alkunopeus \(v\) ja heittokulma \(\theta\) tunnetaan. Voit olettaa ilmanvastuksen pieneksi.

Ratkaisu

Kun ilmanvastus oletetaan pieneksi, heittoliikkeessä olevaan kappaleeseen vaikuttaa ainoastaan painovoima suoraan alaspäin. Tällä voimalla ei ole x-suuntaista komponenttia. Siispä nopeuden x-komponentti ei muutu ja se saadaan trigonometrialla

\begin{equation*} v_x = v\cos\theta. \end{equation*}

Pystysuuntainen nopeus muuttuu ajassa kiihtyvyydellä \(-g\text{.}\) Alkunopeus saadaan jälleen trigonometrialla

\begin{equation*} v_{y0} = v\sin\theta \end{equation*}

Tasaisesti muuttuvalle nopeudelle \(v= v_0 + at\text{,}\) joten heittoliikkeen y-suuntainen komponentti on

\begin{equation*} v_y = v_{y0} + at = v\sin\theta - gt. \end{equation*}
3.

Kaksi 5,0 g:n pistevarausta 1,0 m pitkissä naruissa hylkivät toisiaan, kun varausten suuruudet on +100 nC, kuten alla olevassa kuvassa. Mikä on \(\theta\text{?}\) Voit käyttää pienillä kulmilla hyvin toimivaa approksimaatiota \(\tan\theta \approx \sin\theta\text{.}\)

Ratkaisu

Kannattaa piirtää varausten vapaakappalekuvat

Varaukset ovat tasapainossa ja lanka muodostaa kulman \(\theta\) pystysuunnasta. Varauksiin vaikuttaa sähköinen voima, painovoima ja langan jännitysvoima.

Tasapainossa Newtonin ensimmäinen lain mukaan kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on nolla, eli \(\vec{F}_\mathrm{kok} = \vec{T} + \vec{F}_\mathrm{G} + \vec{F}_\mathrm{e} = \vec{0} \text{.}\) Komponenteittain

\begin{equation*} \begin{array}{c|c} (F_\mathrm{kok})_x = T_x + (F_\mathrm{G})_x + (F_\mathrm{e})_x = \SI{0}{\newton} \amp (F_\mathrm{kok})_y = T_y + (F_\mathrm{G})_y + (F_\mathrm{e})_y = \SI{0}{\newton} \\ -T\sin\theta + \SI{0}{\newton} + K\dfrac{q^2}{d^2} = \SI{0}{\newton} \amp T\cos\theta - mg + \SI{0}{\newton} = \SI{0}{\newton} \\ T\sin\theta = K\dfrac{q^2}{d^2} = K\dfrac{q^2}{(2L\sin\theta)^2} \amp T\cos\theta = mg \end{array} \end{equation*}

Jaetaan vasemmanpuoleinen yhtälö oikeanpuoleisella, jolloin saadaan

\begin{equation*} \sin^2\theta\tan\theta = K\frac{q^2}{4L^2mg} = \frac{(\SI{9,0\eplus 9}{\newton\meter\squared/\coulomb\squared})(\SI{100\eminus9}{\coulomb})^2} {4(\SI{1,0}{\meter})^2(\SI{5,0\eminus3}{\kilogram})(\SI{9,8}{\newton/\kilogram})} = 4,59\eminus4 \end{equation*}

Pienille kulmille \(\tan\theta \approx \sin\theta \text{.}\) Tällä approksimaatiolla saadaan \(\sin\theta=0,0771\text{,}\) joten \(\theta=\ang{4,4}\text{.}\)

4.

Alla olevassa kuvassa on kolme toisiinsa sidottua köyttä. Yksi ystäväsi vetää köyttä 3,0 N:n voimalla ja toinen 5,0 N:n voimalla. Millä voimalla ja mihin suuntaan sinun tulee vetää köyttä, jotta solmu pysyisi paikallaan?

Ratkaisu

Käsitellään köydessä olevaa solmua staattisessa tasapainossa olevana hiukkasena.

Kirjoitetaan vektorit \(\vec{F}_1\) ja \(\vec{F}_2\) komponenttimuodossa. Nyt \(\vec{F}_1=3\hat{i}\) ja \(\vec{F}_2=-5\sin(\ang{30})\hat{i} + 5\cos(\ang{30})\hat{j} \text{.}\) Tasapainossa voimien summan täytyy olla 0, eli \(\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0}\text{.}\) Voimme ratkaista tuntemattoman voiman \(\vec{F}_3 = -\vec{F}_1 - \vec{F}_2 = -0,5\hat{i} - 4,33\hat{j}.\) Voiman 3 suuruus on \(F_3 = \sqrt{(-0,50)^2+(-4,33)^2} = 4,4\text{.}\) Kulma \(\theta = \tan^{-1}(4,33/0,50) = \ang{83}\) negatiivisesta x-akselista alaspäin.

5.

Mikä on sähkökentän suunta ja voimakkuus merkityssä pisteessä?

Ratkaisu

Lasketaan eri varausten aiheuttamat sähkökentät ja summataan ne yhteen. Merkitään varauksia \(q_1=\SI{5,0}{\nano\coulomb}, q_2=\SI{10}{\nano\coulomb}, q_3=\SI{-5,0}{\nano\coulomb}\text{.}\)

Varauksen \(q_1\) aiheuttama kenttä on

\begin{equation*} \vec{E}_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1}{r^2} \hat{i} = \SI{112500}{\newton/\coulomb} \hat{i} \end{equation*}

Varauksen \(q_2\) aiheuttama kenttä on

\begin{equation*} \vec{E}_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_2}{r^2} \hat{j} = \SI{-56250}{\newton/\coulomb} \hat{j} \end{equation*}

Varauksen \(q_3\) aiheuttaman kentän suuruus on

\begin{equation*} E_3 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q_3|}{r^2} = \SI{22500}{\newton/\coulomb}. \end{equation*}

\(\vec{E}_3\) osoittaa kohti \(q_3\text{:}\)a ja muodostaa kulman \(\theta=\tan^{-1}(4/2)=\ang{63,43}\) x-akseliin nähden. Siispä

\begin{equation*} \vec{E}_3 = -E_3\cos\theta\hat{i} + E_3\sin\theta\hat{j} = (-10064\hat{i} + 20124\hat{j} )\si{\newton/\coulomb} \end{equation*}

Näiden vektorien summa on

\begin{equation*} \vec{E}_\mathrm{kok} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = (1,0\eplus 5\hat{i} + -3,6\eplus 4\hat{j} )\si{\newton/\coulomb} \end{equation*}

Sähkökentän voimakkuus on

\begin{equation*} E_\mathrm{kok} = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \SI{108619}{\newton/\coulomb} = \SI{1,1\eplus 5}{\newton/\coulomb} \end{equation*}

ja vektorin muodostama kulma x-akselista on

\begin{equation*} \phi = \tan^{-1}(|E_x/E_y|) = \ang{-19,4}. \end{equation*}

Alaluku 6.1.2 Pistetulo

Jos tarvitset muistin virkistystä vektoreiden pistetulosta, voit katsoa videon Pistetulo.

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

Vakiovoiman tekemä työ on yleisesti

\begin{equation*} W = \pistetulo{F}{s} = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r}, \end{equation*}

kun voima ja liikkeen suunta eivät ole samansuuntaiset. Kun ne ovat samansuuntaiset, pistetulo muuttuu kertolaskuksi ja saadaan tuttu \(W=Fs\text{,}\) eli työ on matka kertaa voima.

1.

Kuinka paljon voima \(\vec{F} = (-3,0\hat{i} + 6,0\hat{j})\si{\newton}\) tekee työtä hiukkaseen, joka liikkuu siirtymän

(a)

\(\Delta \vec{r} = 2,0\hat{i}\;\si{\meter}\)

Ratkaisu
\begin{equation*} W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = (-3,0\hat{i} + 6,0\hat{j}) \cdot (2,0\hat{i}) \si{\newton\meter} = (-6,0\hat{i} \cdot \hat{i} + 12 \hat{j} \cdot \hat{i}) \si{\joule} = \SI{-6,0}{\joule} \end{equation*}
(b)

\(\Delta \vec{r} = 2,0\hat{j}\;\si{\meter}\)

Ratkaisu
\begin{equation*} W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = (-3,0\hat{i} + 6,0\hat{j}) \cdot (2,0\hat{j}) \si{\newton\meter} = (-6,0\hat{i} \cdot \hat{j} + 12 \hat{j} \cdot \hat{j}) \si{\joule} = \SI{12}{\joule} \end{equation*}
2.

Kahta köyttä käytetään pianon laskemiseksi toisesta kerroksesta maahan. Pianon massa on 355 kg ja siirron korkeus on 5,00 m. Kuinka paljon eri voimat tekevät työtä?

Ratkaisu

Lasketaan voimien tekemät työt pistetulolla \(W=\vec{F}\cdot\Delta\vec{r}\text{.}\) Siirtymä on \(\Delta \vec{r}=-5,00\hat{j}\text{.}\) Painovoimalle

\begin{equation*} w = \vec{F}_\mathrm{G} \cdot \Delta \vec{r} = (F_\mathrm{G})(\Delta r)\cos\ang{0} = (\SI{255}{\kilogram})(\SI{9,81}{\meter/\second\squared})(\SI{5,00}{\meter})(1,00) = \SI{1,25\eplus 4}{\joule} \end{equation*}

Jännitysvoimalle 1

\begin{equation*} w = \vec{T}_1 \cdot \Delta \vec{r} = (T_1)(\Delta r)\cos\ang{150} = (\SI{1830}{\newton})(\SI{5,00}{\meter})(-0,8660) = \SI{-7,92\eplus 3}{\joule} \end{equation*}

Jännitysvoimalle 2

\begin{equation*} w = \vec{T}_2 \cdot \Delta \vec{r} = (T_2)(\Delta r)\cos\ang{135} = (\SI{1295}{\newton})(\SI{5,00}{\meter})(-0,7071) = \SI{-4,58\eplus 3}{\joule} \end{equation*}
3.

Hiihtäjä, jonka massa on 60 kg ja nopeus on 2,0 m/s, saapuu mäkeen, jonka pituus on 50 m ja kaltevuuskulma \(\ang{10}\text{.}\) Mikä on hiihtäjän nopeus mäen alla, jos oletetaan, että hiihtäjä liukuu kitkatta mäkeä alas?

Ratkaisu

Tarkastellaan hiihtäjää pistemäisenä kappaleena. Piirretään tilanteesta kuva

Kineettisen energian muutos \(\Delta K\) on yhtäsuuri kuin painovoiman hiihtäjään tekemä työ. Lasketaan työ pistetulon avulla ja ratkaistaan kineettisten energioiden erotuksesta \(v_1\text{.}\)

Työksi saadaan

\begin{equation*} W = \vec{F}_\mathrm{G} \cdot \Delta \vec{r} = mg(\Delta r) \cos\alpha = (\SI{70}{\kilogram})(\SI{9,8}{\meter/\second\squared})(\SI{50}{\meter})\cos\ang{80} = \SI{5960}{\joule} \end{equation*}

Ratkaistaan nopeus kineettisen energian muutoksesta

\begin{align*} \Delta K \amp = \puoli mv_1^2 - \puoli mv_0^2 = W \\ \implies v_1 \amp = \sqrt{ v_0^2 + \frac{2W}{m} } = \sqrt{(\SI{2,0}{\meter/\second})^2 + \frac{2(\SI{5960}{\joule})}{\SI{70}{\kilogram}}} \\ \amp = \SI{13}{\meter/\second} \end{align*}

Teho on yksinkertaisessa tapauksessa \(P=W/t\text{,}\) eli tehty työ jaettuna työhön käytetyllä ajalla. Toisin sanoen teho kertoo kuinka nopeasti työtä tehdään aikayksikössä. Tämän voi ilmaista derivaatan avulla \(P = \dee W/ \dee t\text{.}\) Työn määritelmästä saadaan pienen matkan \(\dee \vec{r}\) yli tehty työ

\begin{equation*} \dee W = \vec{F} \cdot \dee\vec{r}, \end{equation*}

jolloin tehoksi saadaan

\begin{equation*} P(t) = \frac{\vec{F} \cdot \dee\vec{r}}{\dee t} =\vec{F} \cdot \frac{\dee\vec{r}}{\dee t} = \vec{F} \cdot \vec{v} = \pistetulo{F}{v} = Fv\cos\theta. \end{equation*}

Eli voiman hiukkaseen kohdistama teho on voiman ja hiukkasen nopeuden pistetulo.

4.

Tehtaassa siirretään 300 kg konetta moottorin avulla. Mikä moottorin tehon on oltava, jotta kone liikkuu 5 m/s? Koneen ja lattian välinen kitkakerroin on \(\mu=0,60\text{.}\)

Ratkaisu

Moottori kohdistaa kaapelin välityksellä koneeseen jännitysvoiman \(\vec{T}\text{.}\) Tämä voima tekee koneeseen työtä teholla \(P=Tv\text{.}\) Kone on tasapainossa, koska se liikkuu tasaisella nopeudella, joten kaapelin jännitysvoima on yhtäsuuri kuin kitkan aiheuttama voima

\begin{equation*} T = F_\mu = \mu mg \end{equation*}

Moottorin tehoksi saadaan

\begin{equation*} P = Tv = \mu mgv = \SI{882}{\watt} \end{equation*}
5.

1500 kg auto, jonka etuprofiilin leveys on 1,6 m ja korkeus on 1,4 m. Auton ilmanvastuskerroin on 0,50 ja renkaiden ja tien välinen vierimiskitkakerroin on 0,02. Mikä moottorin tehon on oltava, jotta auto voi ylläpitää nopeutta \(\SI{30}{\meter/\second} = \SI{108}{\kilo\meter/\hour}\text{.}\) Oleta, että auton moottorin tehosta 25% kuluu muuhun kuin renkaiden pyörittämiseen. Vierimiskitkalle voit käyttää \(f_\mu = \mu m g\) ja ilmanvastukselle \(F_{\mathrm{D}} = \frac{1}{2} C \rho A v^2\text{,}\) jossa \(C\) on kappaleen muodosta tuleva kerroin, \(\rho\) on väliaineen tiheys, \(A\) on kappaleen poikkileikkauksen pinta-ala ja \(v\) on kappaleen vauhti.

Ratkaisu

Tasaisella nopeudella liikkuvaan autoon kohdistuva kokonaisvoima on nolla. Liikettä vastustavat renkaiden vierimiskitka ja ilmanvastus. Autoa eteenpäin työntävä voima \(\vec{F}\) on yhtäsuuri kuin vastusvoimien summa

\begin{equation*} F = f_\mu + D, \end{equation*}

jossa \(\vec{D}\) on ilmanvastus. Annetuilla tiedoilla

\begin{equation*} F = \mu mg + \puoli C \rho A v^2 = \SI{294}{\newton} + \SI{605}{\newton} = \SI{899}{\newton}, \end{equation*}

jossa \(A\) on auton poikkileikkauksen ala ja \(\rho=\SI{1,2}{\kilogram/\meter\cubed}\) ilman tiheys. Teho, joka tarvitaan auton nopeuden pitämiseksi 30 m/s, on

\begin{equation*} P = Fv = (\SI{899}{\newton})(\SI{30}{\meter/\second}) = \SI{27000}{\watt} = 36\mathrm{ hp}. \end{equation*}

Auton vetävien renkaiden täytyy siis tuottaa tämä teho vastusvoimia vastaan. Moottorin tuottaman tehon täytyy olla suurempi, koska osa moottorin tehosta kuluu auton toimintaan ja osa menee hukkaan. Jos 25% tehosta menetetään, niin autoa liikuttavasta tehosta saadaan moottorin tuottama teho

\begin{equation*} P = 0,75 P_\mathrm{moottori} \implies P_\mathrm{moottori} = \frac{P}{0,75} = \SI{31900}{\watt} = 48\mathrm{ hp} . \end{equation*}

Alaluku 6.1.3 Ristitulo

Katso videot Determinantit (Matikkamatskut) ja Ristitulo (Matikkamatskut).

Fysikaalisissa tilanteissa ristitulon voi usein määrittää laskematta käyttämällä oikean käden sääntöä (kuva 1). Oikean käden etusormi osoittaa ensimmäisen vektorin suuntaan, kohtisuoraan etusormen kanssa oleva keskisormi osoittaa toisen vektorin suuntaan ja peukalo osoittaa ristitulon tuloksen suuntaan. Yhtäläisesti oikean käden säännön voi määritellä siten, että peukalo ja etusormi osoittavat keskenään kerrottavien vektoreiden suunnat ja keskisormi osoittaa saadun vektorin suunnan.

(for accessibility)
Kuva 6.1.1. Wikimedia, Acdx, CC BY-SA 3.0

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

Määritä yksikkövektoreiden väliset ristitulot

\begin{equation*} \begin{array}{ccc} \text{a) }\hat{i} \times \hat{j} \amp \text{b) }\hat{j} \times \hat{i} \amp \text{c) }\hat{i} \times \hat{k} \\ \text{d) }\hat{k} \times \hat{i} \amp \text{e) }\hat{k} \times \hat{j} \amp \text{f) }\hat{j} \times \hat{k} \end{array} \end{equation*}
Ratkaisu
\begin{equation*} \begin{array}{ccc} \text{a) }\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k} \amp \text{b) }\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k} \amp \text{c) }\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j} \\ \text{d) }\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j} \amp \text{e) }\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i} \amp \text{f) }\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i} \end{array} \end{equation*}

Pistemäinen liikkuva varattu hiukkanen luo magneettikentän

\begin{equation*} \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q \ristitulo{v}{r}}{r^2} \end{equation*}
2.

Alla olevan kuvan elektroni liikkuu oikealle. Mihin suuntaan elektronin luoma magneettikenttä osoittaa merkityssä pisteessä?

Ratkaisu

Huomaa, että varauksen merkki muuttaa ristitulosta saatavan vektorin suunnan. Magneettikenttä osoittaa siten sivusta ulospäin.

Magneettikentässä liikkuvaan hiukkaseen kohdistuva voima riippuu sen nopeudesta

\begin{equation*} \vec{F} = q \ristitulo{v}{B} = (qvB\sin\alpha, \text{suunta oikean käden säännollä}) \end{equation*}
3.

Pitkässä johtimessa kulkee 10 A virta vasemmalta oikealle. 1,0 cm:n etäisyydellä johtimen yläpuolella liikkuu elektroni oikealle nopeudella 1,0e7 m/s. Mikä on magneettikentän elektroniin kohdistaman voiman suunta ja suuruus?

Ratkaisu

Varaus on negatiivinen, joten voiman suunta on päinvastainen vektoriin \(\vec{v}\times\vec{B}\) nähden. Oikean käden säännöstä saadaan, että \(\vec{v}\times\vec{B}\) osoittaa alaspäin, joten voiman \(\vec{F}\) suunta on ylös. Voiman suuruus on \(F=|q|vB\) ja magneettikenttä on pitkän suoran johtimen kenttä

\begin{equation*} B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d} = \SI{2,0\eminus4}{\tesla}, \end{equation*}

joten voiman suuruus on

\begin{equation*} F = evB = (\SI{1,60\eminus19}{\coulomb})(\SI{1,0\eplus 7}{\meter/\second})(\SI{2,0\eminus4}{\tesla}) = \SI{3,2\eminus16}{\newton} \end{equation*}

ja suunta ylös, kuten todettiin.

Lorentzin voima kuvaa varattuun hiukkaseen kohdistuvaa voimaa sähkö- ja magneettikentässä.

\begin{equation*} \vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B}) \end{equation*}

Kun nopeus on kohtisuorassa magneettikenttää vasten ja sähkökenttää ei ole, hiukkanen on ympyräradalla. Jos ristitulon kirjoittaa auki determinantin avulla, voi nähdä, miten voima saa magneettikentän suuntaista komponenttia, kun nopeus ei ole kohtisuorassa magneettikentän kanssa. Tällöin hiukkanen päätyy ruuviviivaradalle.

Voima ei aina kohdistu kohtisuoraan voiman vartta kohden, joten yleisempi muoto vääntömomentille on tarpeen. Vääntömomentissa

\begin{equation*} \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = rF \sin\phi \end{equation*}

\(r\) on etäisyys pisteestä, jonka suhteen kappale pyörii pisteeseen, johon voima vaikuttaa. Huomaa, että kulma \(\phi\) on voiman varren ja voimavektorin välinen kulma.

4.

Käytät 20 cm pitkää jakoavainta mutterin vääntämiseen. Jakoavaimen varsi muodostaa \(\ang{30}\) kulman vaakatasoon nähden ja kohdistat jakoavaimen päähän 100 N voiman. Kuinka suuri vääntömomentti kohdistuu mutteriin?

Ratkaisu

Piirretään havainnollistava kuva.

Lasketaan vääntömomentti ristitulon trigonometrisella määritelmällä, huomaa \(\phi\text{:}\)n merkki

\begin{equation*} \tau = \vec{r} \times \vec{F} = rF\sin\phi = (\SI{0,20}{\meter})(\SI{-86,6}{\newton}) = \SI{-17}{\newton\meter} \end{equation*}

Hiukkasen pyörimismäärä jonkin pisteen suhteen saadaan ristitulolla

\begin{equation*} \vec{L} = \ristitulo{r}{p}. \end{equation*}
5.

Mihin suuntaan pyörimismäärävektori osoittaa, kun hiukkanen on ympyräradalla \(xy\)-tasossa?

Ratkaisu

Jos hiukkanen liikkuu vastapäivään, pyörimismäärävektori osoittaa positiivisen z-akselin suuntaan. Jos liike on myötäpäivään, vektorin suunta on negatiivisen z-akselin suuntaan.

Magneettinen dipolimomentti määritellään magneettikentän dipoliin aiheuttaman vääntömomentin avulla \(\vec{\tau} = \ristitulo{m}{B}\text{.}\)