LuFy Tasaisesti kiihtyvä pyörimisliike ja hitausmomentti

Alaluku 1.2 Tasaisesti kiihtyvä pyörimisliike ja hitausmomentti

Katso aluksi opetus.tv:n videot tasaisesti kiihtyvä pyörimisliike. Kirjoita itsellesi samalla muistiinpanot aiheesta. Kirjaa ylös ainakin kulmakiihtyvyyden määritelmä ja pyörimisliikkeen liikeyhtälöt.

Vastaa sitten seuraaviin kysymyksiin.

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

Viivapiirros tuulettimesta — Kuva 1.2.1.

Kuvan tuulettimen lapojen pyöriminen hidastuu. Mitkä ovat \(\alpha\text{:}\)n ja \(\omega\text{:}\)n merkit?

Ratkaisu

Tuuletin pyörii myötäpäivään, jolloin kulmanopeuden sovittu merkki on negatiivinen. Kulmanopeus vähenee, joten kulmakiihtyvyyden merkki on eri kuin kulmanopeuden. \(\omega \lt 0,\, \alpha \gt 0\text{.}\)

2.

Määritä jokaisen kuvan systeemille \(\alpha\text{:}\)n ja \(\omega\text{:}\)n merkit.

Ratkaisu

a) \(\omega \gt 0,\, \alpha \gt 0\)

b) \(\omega \lt 0,\, \alpha \gt 0\)

c) \(\omega \gt 0,\, \alpha \lt 0\)

d) \(\omega \lt 0,\, \alpha \lt 0\)

3.

Kuvassa on heiluri yhden heilahduksen päätepisteessä.

Onko tässä pisteessä \(\omega\) positiivinen, negatiivinen vai nolla? Perustele.
Onko tässä pisteessä \(\alpha\) positiivinen, negatiivinen vai nolla? Perustele.

Ratkaisu

a) \(\omega = 0\text{.}\) Heilurin liike on hetkellisesti pysähtynyt, joten sillä ei ole kulmanopeutta.

b) \(\alpha > 0\text{.}\) Heilurin kulmanopeus on hidastunut, kunnes heiluri pysähtyy ääriasennossa, jolloin heiluri alkaa liikkua toiseen suuntaan. Heilurin kulmanopeus kasvaa, joten heilurin kulmakiihtyvyys on positiivinen.

4.

Karuselli, jonka säde on 5 m, pyörii aluksi siten, että sen jaksonaika 4 s. Se hidastaa ja pysähtyy 20 sekunnissa.

Ennen hidastumista, mikä on karusellin reunalla istuvan lapsen vauhti?
Kuinka monta kierrosta karuselli pyörii hidastuessaan?

Ratkaisu

a) \(r = 5\,\mathrm{m}, \, T = 4\,\mathrm{s}, \, \textit{s} = 2\pi r = 10\pi, \, v = s/T \approx 8\,\mathrm{m/s}\text{.}\)

b) Oletetaan, että karusellin pyöriminen hidastuu tasaisesti. Kulmanopeus alussa:

\begin{equation*} \omega = \frac{2\pi}{T} \text{.} \end{equation*}

Kulmakiihtyvyys on kulmanopeuden muutos:

\begin{equation*} \alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\text{.} \end{equation*}

Pyörimisliikkeen yhtälön mukaan kiertokulma on

\begin{equation*} \phi(t) = \phi_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = \phi_0 + \frac{2\pi}{T} t + \frac{1}{2} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} t^2 \end{equation*}

Kun sijoitamme \(\phi_0=0, \, \Delta \omega = -\frac{2\pi}{T}, \, \Delta t = t\text{,}\) kiertokulman lauseke sievenee muotoon

\begin{equation*} \phi(t) = \frac{\pi}{T}t. \end{equation*}

Kiertokulmasta saadaan kierrosten lukumäärän \(n\) jakamalla \(2\pi\text{:}\)llä:

\begin{equation*} n = \frac{1}{2T} t \end{equation*}

Johon voidaan sijoittaa tunnetut arvot: \(T = 4\,\mathrm{s}, \, t = \Delta t = 20\,\mathrm{s}\text{.}\) Lopulta saamme

\begin{equation*} n = 2,5\text{.} \end{equation*}