Siirry pääasiaan

Alaluku 5.4 Suurentavat optiset laitteet

Katso video Suurentavat optiset laitteet. Mikä on kulmasuurennoksen ja viivasuurennoksen ero? Miksi mikroskoopilla saadaan suurempi suurennos kuin tavallisella suurennuslasilla? Miksi pitkä kaukoputki mahdollistaa suuremman suurennoksen kuin lyhyt?

Harjoitustehtävät 5.4.1 Harjoitustehtävät

1.

Ota selvää, mitä eroa on Newtonilaisella kaukoputkella ja Cassegrain kaukoputkella.

Ratkaisu

Molemmat kaukoputket toimivat sillä periaatteella, että valonsäteet kootaan kaarevalla peilillä ja käytetään toista peiliä syntyneen kuvan katselemiseen. Newtonilaisessa kaukoputkessa kootut valonsäteet ohjataan peilin avulla sivuun, josta niitä katsotaan. Cassegrainin kaukoputkessa käytetään kuperaa peiliä, jonka avulla voidaan säädellä helpommin sitä, miltä etäisyydeltä kaukoputken takaa kuva näkyy tarkasti.

2.

Mikroskoopin putken pituus on \(20\,\centi\meter\text{.}\) Mikä tulee olla objektiivin polttoväli, jotta suurennos on \(500\times\text{,}\) kun okulaarin polttoväli on \(5,0\,\centi\meter\text{?}\)

Ratkaisu

Mikroskoopin suurennokselle pätee

\begin{equation*} M = - \frac{L}{f_{obj}} \frac{25\,\centi\meter}{f_{okul}}, \end{equation*}

josta voidaan ratkaista \(f_{obj}\)

\begin{equation*} f_{obj} = \frac{L}{M} \frac{25\,\centi\meter}{f_{okul}} = \frac{20\,\centi\meter}{500} \frac{25\,\centi\meter}{5,0\,\centi\meter} = 0,2\,\centi\meter. \end{equation*}

Alaluku 5.4.2 Pallopeilitehtävä

Kaarevat peilit tehdään usein pallopinnan muotoisiksi, koska niiden tekeminen on yksinkertaisempaa kuin monimutkaisempien muotojen. Tutkitaan seuraavaksi tarkemmin pallopeiliä ja sitä, mihin kovera pallopeili tarkkaan ottaen heijastaa valonsäteet.

Seuraava tehtävä on hieman haastava, mutta se on paloiteltu osiin, joiden avulla ratkaisuun pääsee käsiksi.

Pallopeili on asennettu kaukoputkeen. Sen halkaisija on \(D = 5,0\,\centi\meter\) ja kaarevuussäde on \(R = 2\,\meter\text{.}\) Peilin pääpolttopisteessä on säteilynvastaanotin, joka on pyöreä kiekko. Kiekko asetetaan kohtisuoraan peilin optisen akselin kanssa. Mikä tulee olla kiekon säteen \(r\text{,}\) jotta siihen saadaan kerättyä kaiken peilin heijastaman säteilyn? Jos haluat lisähaasteen, voit yrittää suorittaa laskun ilman laskinta. Tässä tapauksessa voit käyttää pienillä luvuilla toimivaa approksimaatiota \(\sqrt{1-x} \approx 1 - x/2\text{.}\) Diffraktiota ei tarvitse huomioida.

Miten lähdetään purkamaan tehtävää? Pitää siis tutkia valonsädettä, jonka tulokulma ja siten heijastumiskulma on mahdollisimman suuri. Kun piirrämme tämän valonsäteen ja sen heijastuksen, voimme käyttää tuttua geometriaa ja trigonometriaa vastataksemme kysymykseen. Voit yrittää ratkaista tehtävää jo nyt, mutta alla on tukikysymyksiä ja vinkkejä, joilla pääset varmasti alkuun. Tämä tehtävä on ollut vuoden 1970 kansainvälisten fysiikkaolympialaisten (IPhO) neljäs tehtävä.

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

  1. Mitä lähempänä optista pääakselia valonsäde tulee peiliin, sitä lähemmäs se heijastuu polttopistettä \(F\text{.}\) Nyt halutaan tutkia sitä kiekkoa, joka kerää kaikki säteet. Mihin kohtaan peiliä se valonsäde osuu, jota nyt halutaan tutkia? Piirrä se.

  2. Miten voit piirtää kuvaan heijastuvan valonsäteen tulokulman \(\alpha\text{?}\) Ts. miten saat piirrettyä normaalin siihen pisteeseen, johon valonsäde osuu?

  3. Piirrä nyt arvio heijastumiskulmasta ja valonsäteen jatkeesta. Nyt kannattaa ehkä piirtää havainnekuva, jossa korostat tutkittavia etäisyyksiä, jotta saat piirrettyä selkeämmän kuvan. Merkitään myöhempiä vaiheita varten valonsäteen ja pääakselin leikkauspistettä B:llä.

  4. Nyt voit osoittaa, että piste B on polttopisteen ja peilin välissä. (Tämän voi myös jättää myöhemmäksi, mutta perustelu on hyvä harjoitus.)

  5. Lopulta tarkoituksena on saada \(r\) kirjoitettua \(D\text{:}\)n ja \(R\text{:}\)n avulla. Aluksi on kuitenkin helpompaa kirjoittaa \(r\) trigonometristen funktioiden ja kulman \(\alpha\) avulla. Piirrä apukolmio BFC, jossa C on heijastuneen valonsäteen ja polttopisteen kautta kulkevan pystysuoran leikkauspiste. Kolmiossasi siis CF=r.

  6. Kirjoita r kulman \(\alpha\) avulla. (Vihje: samankohtaiset kulmat. Voit kirjoittaa sivun BF janojen BO ja OF erotuksena.)

  7. Kirjoita trigonometrisia relaatioita käyttämällä kulman \(\alpha\) sini ja kosini käyttämällä \(D\text{:}\)tä ja \(R\text{:}\)ää. Nyt voit laskea etäisyyden \(r\text{.}\) (Vihje: kaksinkertaisten kulmien trigonometriset relaatiot)

Ratkaisu

Alla olevaan kuvaan on piirretty saapuva valonsäde ja säteen heijastus. Ympyrän säde on aina kohtisuorassa ympyrän kaarta vasten, joten OA on peilin pinnan normaalin suuntainen. Kuvasta nähdään alustavasti, että heijastunut valonsäde ei kulje polttopisteen kautta. Osoitetaan tämä. Merkitään tulokulmaa \(\alpha\text{:}\)lla. Koska tulokulma MAO ja kulma AOB ovat samankohtaiset ja MA ja OB ovat yhdensuuntaiset, ovat MAO ja AOB yhtäsuuret. Siispä AOB=\(\alpha\text{.}\) Koska heijastumiskulma ja tulokulma ovat yhtäsuuret ja OA on peilin normaalin suuntainen, on kulma OAB on yhtäsuuri kuin \(\alpha\text{.}\) Siispä kolmio \(\triangle\)ABO on tasakylkinen. Yksi kolmion ominaisuuksista on, että kahden lyhyemmän sivun pituuksien summa on aina suurempi kuin pisimmän sivun pituus. Nyt siis AB+BO>OA=R. Koska kolmio on tasasivuinen, niin AB+BO=2BO>R, eli \(\text{BO}\gt\text{R}/2\text{.}\) Näin ollen piste B sijaitsee polttopisteen F ja peilin välissä.

Kirjoitetaan sitten apukolmion \(\triangle\)BCF avulla pituus \(r\text{:}\)

\begin{equation*} r = \mathrm{BF} \tan 2\alpha = \mathrm{BF} \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. \end{equation*}

Sivun BF pituus saadaan erotuksesta OB-OF. OB saadaan apukolmiosta \(\triangle\)BOP:

\begin{equation*} \mathrm{OB} = \frac{R}{2} \frac{1}{\cos\alpha}. \end{equation*}

Siispä

\begin{equation*} r = \frac{R}{2} \frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha} \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}. \end{equation*}

Voimme käyttää kaksinkertaisten kulmien relaatioita

\begin{align*} \sin 2\alpha \amp= 2\sin\alpha \cos\alpha \\ \cos 2\alpha \amp= \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \\ \end{align*}

ja saamme sijoittamalla

\begin{equation*} r = \frac{R}{2} \frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha} \frac{2\sin\alpha \cos\alpha}{1 - 2\sin^2\alpha}. \end{equation*}

Kun sijoitamme saatuun yhtälöön

\begin{equation*} \sin\alpha = \frac{D}{2R} \quad \mathrm{ja} \quad \cos\alpha = \frac{\sqrt{R^2 - (D/2)^2}}{R} \end{equation*}

saamme laskun lopputulokseksi \(r = 2,024\dots\milli\meter \approx 2\,\milli\meter\text{.}\) Lisähaasteena oli tehdä tämä lasku ilman laskinta. Tätä varten voimme tehdä arvion \(\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha} \approx 1 - \sin^2\alpha / 2\text{.}\) Nyt saamme säteeksi

\begin{equation*} r \approx \frac{R}{2} \frac{\sin^3\alpha}{1-\sin^2\alpha}. \end{equation*}

Tähän voi jo sijoittaa \(\sin\alpha\text{:}\)n, mutta kohtuullisen hyvin toimiva arvio edelleen on

\begin{equation*} r \approx \frac{R}{2} \sin^3\alpha \approx \frac{D^3}{16R^2}, \end{equation*}

josta saamme säteeksi \(r \approx 1,95\,\milli\meter \approx 2\,\milli\meter\text{.}\)