Siirry pääasiaan

Alaluku 4.3 LRC-vaihtovirtapiirit

Katso video LRC-vaihtovirtapiirit.

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

Mitä ylipäästö- ja alipäästösuodattimet tekevät? Missä suodattimia voi käyttää?

Ratkaisu

Suodattimia voi käyttää esimerkiksi äänitaajuuksien suodattamiseen. Ylipäästösuodatinta voi käyttää esimerkiksi matalataajuisen melun poistamiseen puheen (noin \(\gt 200 \,\hertz\)) alta. Alipäästösuodatinta taas voi käyttää korkeataajuisten häiriöiden poistamiseen kuten esimerkiksi vinyylilevyjen korkeataajuisen suhinan.

2.

Ylipäästösuodatin on kytketty jännitelähteeseen, jonka huippujännite on 10,0 V. Kondensaattorin huippujännite on 6,0 V. Mikä on jännite vastuksen yli?

Ratkaisu

RC-piirin huippujännitteistä

\begin{equation*} \mathcal{E}_0^2 = V_\mathrm{R}^2 + V_\mathrm{C}^2 \implies V_\mathrm{R} = \sqrt{\mathcal{E}_0^2 - V_\mathrm{C}^2} = \sqrt{ (10,0\,\volt)^2 - (6,0\volt)^2 } = 8,0\,\volt \end{equation*}
3.

Radioantenni vastaanottaa 1000 kHz signaalia 5,0 mV huippujännitteellä. Säädettävä virtapiiri koostuu 60\(\,\micro\henry\) kelasta kytkettynä sarjaan säädettävän kondensaattorin kanssa. Kelan vastus on 0,25\(\,\ohm\text{.}\) Muun virtapiirin vastuksen voi jättää huomiotta.

  1. Mihin arvoon kondensaattori pitää säätää, jotta tätä signaalia voi kuunnella?

  2. Mikä on virtapiirin huippuvirta, kun piiri on resonanssissa?

  3. Toinen radioasema 1050 kHz taajuudella muodostaa antenniin 10 mV jännitteen. Mikä on virta tällä taajuudella, kun radio on viritetty 1000 kHz taajuudelle?

Ratkaisu

Kelan resistanssin voi ajatella sarjaan kytkettynä vastuksena, joten piiri on RLC-piiri.

  1. Kondensaattori pitää säätää siten, että se on kelan kanssa resonanssissa taajuudella \(\omega_0=2\pi\times 1000\,\kilo\hertz\text{.}\) Siispä kondensaattorin kapasitanssi saadaan

    \begin{gather*} \end{gather*}

  2. Resonanssissa \(X_\mathrm{L} = X_\mathrm{C}\text{,}\) joten huippuvirta on

    \begin{align*} \end{align*}

  3. Nyt signaali ei ole piirin resonanssitaajuus, joten täytyy laskea \(X_\mathrm{L}\) ja \(X_\mathrm{C}\) taajuudella \(\omega = 2\pi \times 1050\,\kilo\hertz\text{:}\)

    \begin{align*} \end{align*}

    Tällä taajuudella huippujännite on \(\mathcal{E}_0 = 10\,\milli\volt\text{.}\) Näillä arvoilla huippuvirraksi saadaan

    \begin{equation*} I = \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{R^2 + (X_\mathrm{L} - X_\mathrm{C})^2}} = 0,28\,\milli\ampere\text{.} \end{equation*}

Näistä laskuista voi huomata, että resonanssitaajuudesta eroava signaali on huomattavasti vaimeampi kuin signaali resonanssitaajuudella.

4.

Sarjaan kytketyn RLC-piirin resonanssitaajuus on 200 kHz. Mikä on piirin resonanssitaajuus, jos kondensaattorin kapasitanssi kaksinkertaistuu ja samalla kelan induktanssi puolittuu?

Ratkaisu

Resonanssitaajuus (kulmataajuus) on

\begin{equation*} \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \end{equation*}

joten taajuus on

\begin{equation*} f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \frac{1}{\sqrt{LC}}. \end{equation*}

Kun kapasitanssi kaksinkertaistuu ja induktanssi puolittuu, niin taajuus on

\begin{equation*} f_0' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{ \frac{1}{\dfrac{L}{2} 2 C} } = f_0 = 200\,\kilo\hertz \end{equation*}
5.

Hiustenkuivaajan lämmityselementin teho on 1500 W, kun se on kytketty 230 V/50 Hz verkkovirtaan. Mikä on lämmittimen resistanssi?

Ratkaisu

Sähkölaite, jonka merkitty teho on 1500 W, on suunniteltu toimivan tällä teholla, kun rms-jännite on \(V_\mathrm{rms}=230\,\volt\text{.}\) Resistanssi saadaan siis lausekkeella

\begin{equation*} R = \frac{V_\mathrm{rms}^2}{\,P_\mathrm{avg}} = \frac{(230\,\volt)^2}{\,1500\,\watt} \approx 35,3\,\ohm \end{equation*}
6.

Sarjaan kytketty RLC-piiri koostuu \(50\,\ohm\) vastuksesta, 3,3 mH kelasta ja 480 nF kondensaattorista. Piiri on kytketty jaksolliseen jännitelähteeseen, jonka huippujännite on 5,0 V. Määritä impedanssi, huippuvirta ja vaihekulma taajuuksilla

a) 3000 Hz b) 4000 Hz c) 5000 Hz.

Ratkaisu

Piirin impedanssi on

\begin{equation*} Z = \sqrt{R^2 + (X_\mathrm{L} - X_\mathrm{C})^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2} \end{equation*}

Huippuvirran saa impedanssin avulla

\begin{equation*} I = \frac{\mathcal{E}_0}{Z}. \end{equation*}

Vaihekulman saa resistanssin, reaktanssin ja induktanssin avulla

\begin{equation*} \phi = \tan^{-1} \left[ \frac{X_\mathrm{L} - X_\mathrm{C}}{R} \right] \end{equation*}

Kulmataajuuden tilalle sijoitetaan \(\omega=2\pi f\text{.}\)

  1. \(f=3000\,\hertz\text{,}\) \(Z\approx 70\,\ohm\text{,}\) \(I=72\,\milli\ampere\text{,}\) \(\phi=\ang{-44}\text{.}\)

  2. \(f=4000\,\hertz\text{,}\) \(Z\approx 50\,\ohm\text{,}\) \(I=0,10\,\ampere\text{,}\) \(\phi=\ang{0}\text{.}\)

  3. \(f=5000\,\hertz\text{,}\) \(Z\approx 62\,\ohm\text{,}\) \(I=80\,\milli\ampere\text{,}\) \(\phi=\ang{37}\text{.}\)