LuFy Palataan alun pulmaan

Alaluku 2.4 Palataan alun pulmaan

Hahmotellaan aluksi hieman tilannetta. Mitä tarkoittaa, että kaikki pisteet, joihin origosta heittämällä voidaan osua saadaan epäyhtälöstä

\begin{equation*} y \leq y_0 - kx^2 \end{equation*}

Miltä tämä alue \(xy\)-tasossa näyttää?

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

Hahmottele annettu alue.

Ratkaisu

Epäyhtälö kuvaa paraabelin alapuolelle jääviä pisteitä.

2.

Mitä ovat vakiot \(y_0\) ja \(k\text{?}\)

Vihje

\(y_0\) liittyy heiton maksimikorkeuteen, \(k\text{:}\)ta voi etsiä siten, että tutkii ratoja, joilla heitto osuu mahdollisimman pitkälle \(x\)-akselilla.

Ratkaisu

Paraabelissa \(y = y_0 - kx^2\) vakiotermi on paraabelin ja \(y\)-akselin leikkauspisteen \(y\)-koordinaatti. Heittoliikettä ajatellen tähän pisteeseen voi osua vain heittämällä suoraan ylöspäin. Suoraan ylöspäin heitetyn heiton maksimikorkeus saadaan selville energian säilymisen avulla

\begin{equation*} \puoli mv^2 = mgh \iff h = \frac{v^2}{2g} \implies y_0 = \frac{v^2}{2g}. \end{equation*}

Kertoimen \(k\) selvittämiseksi pohditaan heittoa lähtökulmalla \(45^\circ\text{.}\) Tämä heitto on sellainen, joka leikkaa \(x\)-akselin kaikkein kauimpana origosta. Pallon kantama tällaiselle heitolle on \(x=v^2/g\) (ks. tehtävä 1.3.2). Siispä paraabeli \(y=y_0-kx^2\) leikkaa \(x\)-akselin pisteissä \(\pm v^2/g\text{,}\) eli

\begin{equation*} y=\frac{v^2}{2g}-kx^2 = 0 \implies \frac{v^2}{2g} = k \left( \frac{v^2}{g} \right)^2 \implies k = \frac{g}{2v^2}. \end{equation*}

3.

Jos nyt tavoitteena on osua pallonmuotoisen rakennuksen korkeimpaan kohtaan, miltä pallon lentoradat näyttävät? Hahmottele lentoratoja erilaisilla kulmilla.

Ratkaisu

Radat riippuvat lähtönopeudesta ja heittokulmasta. On kuitenkin mahdollista löytää aina lentorata, joka sivuaa rakennusta ja osuu rakennuksen huipulle.

4.

Eroavatko lentoradat tilanteesta, jossa pallo heitetäänkin rakennuksen katolta? Miltä tällaiset lentoradat näyttävät?

Ratkaisu

Newtonin lakien ominaisuus on, että kun ajan suunta käännetään ja voimien suunnat muutetaan päinvastaisiksi, hiukkaset seuraavat samaa rataa. Lentoradat näyttävät siis täsmälleen samoilta.

5.

Edellisen johdattelevan kysymyksen perusteella siirrytään tutkimaan tilannetta, jossa pallo lähtee liikkeelle rakennuksen huipulta. Mieti nyt, miltä näyttää sellainen lentorata, jossa lähtönopeus on mahdollisimman pieni, mutta pallo ei osu rakennukseen matkalla maahan.

Ratkaisu

Mahdollisimman pieni lähtönopeus tarkoittaa, että pallon täytyy sivuta rakennusta matkalla maahan. Jos pallo ei sivua rakennusta, samalla lähtökulmalla voi lähtönopeutta pienentää, kunnes pallo sivuaa rakennusta. Jos taas lähtökulma on aluksi 0 ja nopeus sellainen, että pallo ei osu rakennukseen, on mahdollista kasvattaa lähtökulmaa. Tällöin pallo ei edelleenkään osu rakennukseen, joten taas on mahdollista pienentää lähtönopeutta. Optimaalinen lentorata on siis sellainen, jonka lähtökulma on \(0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ\) ja joka sivuaa rakennusta.

6.

Optimaalinen heitto on siis sellainen, että heitetty pallo sivuaa rakennusta. Tällaisella heitolla voidaan osua mihin tahansa pisteeseen rakennuksen sisällä (miksi?). Toisaalta tähdättävissä olevien pisteiden joukon reunan tulee sivuta rakennusta (miksi?). Siispä optimaalisella nopeudella \(v_0\) heitetyn pallon tähdättävissä olevan alueen reuna \(y = y_0 - kx^2\) sivuaa rakennusta. Kirjoita yhtälöpari tämän paraabelin ja rakennuksen leikkauspisteille

Vihje

Koordinaatisto kannattaa valita siten, että rakennuksen huippu on origossa.

Ratkaisu

\(R\)-säteisen ympyrän, jonka keskipiste on \((0,-R)\) yhtälö on \(x^2+y^2+2yR = 0\text{.}\) Kaikki heitot kattavan paraabelin yhtälö on \(y = v^2/(2g) - (gx^2)/(2v^2)\text{.}\)

7.

Muokkaa yhtälöitä siten, että saat neljännen asteen polynomin (muuttujana \(x\)).

Ratkaisu

Sijoitetaan paraabelin yhtälön \(y\) ympyrän yhtälöön ja saadaan

\begin{equation*} x^4 \left( \frac{g}{2v^2} \right)^2 + x^2 \left( \puoli - \frac{gR}{v^2} \right) + \left( \frac{v^2}{4g} + R \right) \frac{v^2}{g} = 0. \end{equation*}

8.

Milloin tällä neljännen asteen polynomilla on täsmälleen kaksi nollakohtaa? Kirjoita tästä ehto nopeudelle \(v_0\text{.}\)

Ratkaisu

Nyt optimaaliselle heittonopeus saadaan ehdosta, että ylläolevalla polynomilla on täsmälleen kaksi nollakohtaa, eli että kaikkia ratoja kuvaava paraabeli sivuaa ympyrää kahdessa pisteessä (ks. alla olevaa kuvaa). Tämä ehto on yhtäpitävää sen kanssa, että yllä olevaa yhtälöä vastaavan toisen asteen yhtälön diskriminantti on 0.

\begin{align*} \amp \left( \puoli - \frac{gR}{v^2} \right)^2 - 4 \left( \frac{g}{2v^2} \right)^2 \left( \frac{v^2}{4g} + R \right) \frac{v^2}{g} = 0\\ \iff \amp \left( \frac{g}{2v^2} \right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{gR}{v^2}\\ \implies \amp \frac{gR}{v^2} = 2 \implies v^2 = \frac{gR}{2} \end{align*}

9.

Lopullista vastausta varten täytyy muistaa, että nyt tehtävässä tarkastelussa pallo heitettiin rakennuksen huipulta. Ratkaise nyt samalle lentoradalle lähtönopeus maan pinnalta heitettäessä.

Ratkaisu

Kun tilanne käännetään siten, että heitto tapahtuu maan pinnalta, täytyy tähän nopeuteen lisätä nopeus, jolla pallo saadaan rakennuksen huipulle. Lisätään siis nopeuteen energian säilymisestä saatava nopeuden neliö \(4gR\) ja saadaan

\begin{equation*} v_{min} = \sqrt{v_2+4gR} = 3\sqrt{\frac{gR}{2}} \end{equation*}