LuFy RLC-piiri, tasavirta

Alaluku 4.1 RLC-piiri, tasavirta

Katso aluksi video RLC piiri.

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

Radioasema lähettää ohjelmaa taajuudella 100 MHz. Mikä tulee olla kelan induktanssi LC-piirissä, jossa kondensaattorin kapasitanssi on 10 pF, jotta ohjelman vastaanottaminen onnistuu?

Ratkaisu

Sarjaan kytkettyjen kelan ja kondensaattorin resonanssitaajuuden määrää kelan induktanssi ja kondensaattorin kapasitanssi. Tiedämme taajuuden ja kapasitanssin, joten induktanssin voi ratkaista yhtälöstä

\begin{equation*} \omega = \sqrt{\frac{1}{LC}} \implies L = \frac{1}{\omega^2 C} = \frac{1}{(2\pi (100\eplus6)\,\hertz)^2} (10\eminus12\,\farad) = 0,25 10\eminus6\,\henry \end{equation*}

2.

Mikä resistanssin \(R\) arvo alla olevassa virtapiirissä tuottaa piirille aikavakion 25\(\mu\mathrm s\text{?}\)

Ratkaisu

Selvitetään rinnan kytkettyjen vastusten ekvivalenttiresistanssi aikavakion ja induktanssin avulla. Saamme ekvivalenttiresistanssiksi

\begin{equation*} \tau = \frac{L}{R_\text{eq}} \implies R_\text{eq} = \frac{L}{\tau} = \frac{7,5\eminus3\,\henry}{25\eminus6\,\second} = 300\,\ohm \end{equation*}

Rinnan kytkettyjen vastusten resistanssien summasta saamme tuntemattoman vastuksen resistanssin

\begin{equation*} \frac{1}{R_\text{eq}} = \frac{1}{500\,\ohm} + \frac{1}{R} \implies R = \frac{(500\,\ohm)(300\,\ohm)}{500\,\ohm - 300\,\ohm} = 750\,\ohm \end{equation*}

3.

Alla olevan kuvan kytkin on ollut asennossa a kauan. Kytkimen asento vaihdetaan b:hen ajanhetkellä \(t=0\,\second\text{.}\)

Mikä on piirissä kulkeva virta ajanhetkellä \(t = 5,0\eminus6\,\second\text{?}\)
Millä ajanhetkellä piirissä kulkeva virta on vähentynyt 1\%:iin alkuperäisestä arvosta?

Ratkaisu

Ennen kuin kytkimen asento vaihtuu, jännite kelan yli on \(\Delta V_\text{L} = 0\) ja virta on \(I_0 = 10\,\volt/100\,\ohm = 0,10\,\ampere = 100\eminus3\,\ampere\text{.}\) Tämä on virta sillä hetkellä, kun kytkimen asento muuttuu, koska kela vastustaa virran muutosta ja virta ei voi muuttua kelassa välittömästi. Kun kytkin on asennossa b, piirin resistanssi on \(R=200\,\ohm\text{,}\) joten piirin aikavakio on

\begin{equation*} \tau = \frac{L}{R} = \frac{2,0\eminus3\,\henry}{200\,\ohm} = 1,0\eminus5\,\second = 10\eminus6\,\second. \end{equation*}

a. Virta ajanhetkellä \(t = 5,0\,\micro\second\) on

\begin{equation*} I = I_0 e^{-t/\tau} = (100\,\milli\ampere) e^{(-5,0\,\micro\second)/(10\,\micro\second)} = 61\,\milli\ampere. \end{equation*}

b. Selvittääksemme ajan, jossa saavutetaan jokin tietty virta, ratkaistaan \(t\) yhtälöstä

\begin{equation*} I = I_0 e^{-t/\tau} \iff e^{-t/\tau} = \frac{I}{I_0} \iff -\frac{t}{\tau} = \ln \left( \frac{I}{I_0} \right) \iff t = -\tau \ln \left( \frac{I}{I_0} \right). \end{equation*}

Yksi prosentti alkuperäisestä virrasta on 1 mA, jolloin ajaksi saadaan

\begin{equation*} t = -(10\,\micro\second) \ln \left( \frac{1\,\milli\ampere}{100\,\milli\ampere} \right) = 46\,\micro\second. \end{equation*}

4.

1,0 A:n virta kulkee kelan läpi. Kelan induktanssi on 10 mH. Mikä jännite kelan yli muodostuu, kun virta vähenee nollaan 5,0\eminus5 s:ssa? Voit olettaa, että kela on ideaalinen (\(R=0\,\ohm\)) ja että virran muutos on lineaarinen (\(\dee I / \dee t \approx \Delta I / \Delta t\)).

Ratkaisu

Kun oletetaan, että virran muutos on lineaarinen, saadaan virran muutokseksi

\begin{equation*} \frac{\dee I}{\dee t} \approx \frac{\Delta I}{\Delta t} = \frac{-1,0\,\ampere}{5,0\eminus6\,\second} = -2,0\eplus5\,\ampere / \second \end{equation*}

Indusoitu jännite on siten

\begin{equation*} \Delta V_\text{L} = -L \frac{\dee I}{\dee t} \approx -(0,010\,\henry) (-2,0\eplus5\,\ampere/\second) = 2000\,\volt \end{equation*}