Alaluku 2.2 Koordinaatistot fysiikassa
Katso Khan Academyn video (englanniksi) johdatus koordinaatistoihin (Introduction to Frames of Reference). Yritä miettiä erilaisia tilanteita, joissa liikut tasaisella nopeudella. Miltä muut nopeudet näyttävät sinulle, jos tarkastelet nopeuksia pelkästään suhteessa sinuun itseesi?
Toinen hyvä video (englanniksi, dizauvi) Introduction to Reference Frames.
Kun fysiikassa tutkitaan kappaleiden kinematiikkaa ja dynamiikkaa, on analyysiä varten valittava jokin koordinaatisto, jossa nopeusvektorit esitetään. Koordinaatiston valinta riippuu tarkasteltavasta tilanteesta. Koordinaatiston voi esimerkiksi kiinnittää johonkin tasaisesti liikkuvaan kappaleeseen ja tutkia muiden kappaleiden liikettä tässä koordinaatistossa. Tutuin tällainen kiinnitetty koordinaatisto on maan pinta, jonka suhteen lähtökohtaisesti ilmoitetaan kaikki nopeudet, joita arkisin mitataan. Tutkittavan kappaleen mukana liikkuvan koordinaatiston lisäksi yleinen valinta on kääntää koordinaattiakseleita siten, että esimerkiksi tutkittavan kappaleen nopeus on x-akselin suuntainen.
Harjoitellaan parin tehtävän avulla koordinaatistojen valintaa.
Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät
1.
Istut tasaisella nopeudella liikkuvassa autossa. Heität pallon ilmaan ja otat sen kiinni. Mieti, miltä pallon liike näyttää sinulle auton sisällä ja auton ulkopuolella olevalle katsojalle.
Suhteessa sinuun pallo lentää suoraan ylös ja takaisin alas. Liike näyttää siis samalta, kuin jos olisit heittänyt palloa seistessäsi maan suhteen paikoillasi. Sivusta katsojalle pallo piirtää kaaren, koska pallo liikkuu auton mukana. Sivusta katsojalle tilanne vastaa sitä, että pallon nopeuden vaakasuora komponentti on yhtäsuuri kuin auton nopeus ja pystysuora komponentti riippuu heitosta ylöspäin.
2.
Laatikko on levossa kaltevalla tasolla. Kirjoita tason laatikkoon kohdistama tukivoima (vektori)
Koordinaatistossa, jossa x-akseli, y-akseli ja kalteva taso muodostavat suorakulmaisen kolmion.
Koordinaatistossa, jossa x-akseli on kaltevan tason suuntainen.
Piirretään vapaakappalekuvat, jotta eri koordinaatistojen erot tulevat paremmin esille.
a)-kohdan koordinaatistossa tukivoimalla \(\vec{N}\) on sekä \(x\)-akselin, että \(y\)-akselin suuntaiset komponentit ja painovoimalla \(\vec{G}\) vain \(y\)-akselin suuntainen komponentti. b)-kohdassa taas painovoimalla on \(x\)- ja \(y\)-suuntaiset komponentit ja tukivoimalla vain \(y\)-suuntainen komponentti. Jos tehtävänä olisi tutkia tilannetta, jossa laatikko liukuu kaltevalla tasolla, olisi b)-kohdan koordinaatisto huomattavasti parempi valinta. Tässä koordinaatistossa painovoiman \(x\)-komponentti olisi liikkeen suuntainen ja liikeyhtälöstä tulee yksinkertainen, koska laatikko ei liiku \(y\)-suunnassa. a)-kohdan koordinaatistolla täytyisi selvittää vielä erikseen tason suuntainen voima ja tässä koordinaatistossa laatikon nopeudella on sekä \(x\)-, että \(y\)-komponentit.
a) Tukivoiman suuruus \(|\vec{N}|\) on nyt pintaa vasten kohtisuora projektio painovoimasta. Trigonometrialla saadaan alemmasta apukolmiosta \(|\vec{N}| = \cos\theta|\vec{G}|=\cos(\theta) m g\text{.}\) Ylemmästä apukolmiosta saadaan nyt tukivoiman komponentit
b) Tässä koordinaatistossa tukivoimalla on ainoastaan \(y\)-akselin suuntainen komponentti, joka saadaan trigonometrialla apukolmiosta
3.
Suomessa laskettelurinteiden haastavuutta merkitään siten, että rinteen kaltevuuskulman kasvaessa rinne on haastavampi. Helpossa rinteessä kaltevuuskulma on korkeintaan \(15^\circ\text{,}\) kun taas vaikeissa rinteissä kulma on yli \(25^\circ\text{.}\) Mieti, miten valitsisit koordinaatiston, kun tehtävänäsi on analysoida laskettelijan kiihtyvyyttä ja maksiminopeutta eri kaltevuuksisissa rinteissä?
Edellisestä tehtävästä viisastuneena koordinaatisto on lienee syytä valita siten, että x-akseli on rinteen suuntainen ja positiivinen suunta rinnettä alas.
4.
Kaksi palloa törmää täysin kimmoisasti siten, että nopeudet ovat täysin päinvastaisiin suuntiin ja vauhdit yhtä suuret. Mieti, miltä törmäys näyttää
pallojen etäisyyden puolivälissä.
toisen pallon mukana liikkuvassa koordinaatistossa.
Entä jos pallot törmäävät vinottain? Miltä törmäys silloin näyttää edellisissä koordinaatistoissa?
a) Pallojen etäisyyden puolivälissä pallot liikkuvat kohti origoa erisuuntaisilla nopeuksilla.
b) Toisen pallon mukana liikkuvassa koordinaatistossa näyttää siltä, että toinen pallo lähestyy kaksinkertaisella nopeudella edelliseen tilanteeseen verrattuna. Törmäyksen jälkeen pallo etääntyy vastaavasti.
c) Näyttää siltä, että pallot lähestyvät toisiaan hitaammin, mutta edelleen suoraviivaisesti.