Siirry pääasiaan

Alaluku 3.3 Carnot'n kiertoprosessi

Katso video Carnot'n kiertoprosessi. Kirjoita muistiinpanoihisi ainakin Carnot'n koneen hyötysuhde ja jäähdyttimenä käytettävän Carnot'n koneen hyvyysluku. Tee seuraavat tehtävät.

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

Piirrä Carnot'n sykli tilavuus-lämpötila-koordinaatistossa (V,T).

Ratkaisu

Tässä koordinaatistossa isotermit ovat vaakasuoria ja adiabaatit ovat suoria isotermien välillä

2.

Parantaaksesi Carnot'n koneen tehokkuutta, tuleeko kuuman lämpöosan lämpötilaa nostaa vai laskea? Entä kylmän?

Ratkaisu

Kuuman osan lämpötilaa tulee nostaa ja kylmän laskea mahdollisimman paljon tehokkuuden parantamiseksi.

3.

Carnot'n konetta käytetään lämpövaraston lämpötilan mittaamiseen. Koneen toinen lämpökylpy koostuu vedestä veden kolmoispisteessä.

  1. Jos 400 J lämpöä per sykli poistetaan lämpövarastosta ja 200 J lämpöä siirtyy kolmoispisteessä olevaan veteen, mikä on lämpövaraston lämpötila?

  2. Jos 400 J lämpöä per sykli poistetaan kolmoispisteessä olevaan veteen ja 200 J lämpöä siirtyy lämpövarastoon, mikä on lämpövaraston lämpötila?

Ratkaisu

(a) Käytetään yhtälöä

\begin{equation*} \frac{T_c}{T_h - T_c} = \frac{Q_c}{Q_h - Q_c}. \end{equation*}

Nyt lämpövarastosta siirretään lämpöä kolmoispisteessä olevaan veteen, joten lämpövarasto on kuuma lämpövarasto. Siispä yllä olevasta yhtälöstä saadaan

\begin{align*} \amp\frac{T_c}{T_h - T_c} = \frac{Q_c}{Q_h - Q_c} \\ \iff\amp T_h - T_c = \frac{T_c ( Q_h - Q_c ) }{Q_c} \\ \iff\amp T_h = \frac{T_c ( Q_h - Q_c ) }{Q_c} + T_c \\ \implies\amp T_h = \frac{273\;\mathrm{K} ( 400\;\mathrm{J} - 200\;\mathrm{J} ) }{200\;\mathrm{J}} + 273\;\mathrm{K} = 546\;\mathrm{J} \end{align*}

(b) Merkitään välivaiheiden selkeyttämiseksi

\begin{equation*} a = \frac{Q_c}{Q_h - Q_c}\text{.} \end{equation*}

Nyt ensimmäisestä yhtälöstä saadaan, kun lämpövarasto on kylmemmässä lämpötilassa

\begin{align*} \amp\frac{T_c}{T_h - T_c} = a \\ \iff\amp T_c = a ( T_h - T_c ) \\ \iff\amp T_c = aT_h - aT_c \\ \iff\amp T_c + aT_c = aT_h \\ \iff\amp T_c (1 + a) = aT_h \\ \iff\amp T_c = \frac{aT_h}{1+a} \\ \implies\amp T_c = \frac{T_h}{2} = 137\;\mathrm{K}\text{,} \end{align*}

koska

\begin{equation*} a = \frac{Q_c}{Q_h - Q_c} = \frac{200\;\mathrm{J}}{400\;\mathrm{J} - 200\;\mathrm{J}} = 1. \end{equation*}
4.

Carnot'n kone toimii 600K ja 300K lämpökylpyjen välillä. Jos kone absorboi 100J lämpöä per sykli, kuinka paljon työtä kone tuottaa?

Ratkaisu

Carnot'n koneen hyötysuhteesta saadaan

\begin{equation*} \eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} = \frac{W_{out}}{Q_h} \iff W_{out} = Q_h \left( 1 - \frac{T_c}{T_h} \right). \end{equation*}

Siispä

\begin{equation*} W_{out} = 100\;\mathrm{J} \left( 1 - \frac{300\;\mathrm{K}}{600\;\mathrm{K}} \right) = 50\;\mathrm{J}. \end{equation*}
5.

Lämpövoimakone toimii 20\(^\circ\)C ja 200\(^\circ\)C lämpökylpyjen välillä ja ottaa 1000J lämpöä kuumasta kylvystä per sykli.

  1. Mikä on suurin mahdollinen määrä työtä, jonka kone voi tehdä per sykli?

  2. Tälle työn määrälle, kuinka paljon lämpöä kone ottaa kylmästä lämpökylvystä per sykli?

Ratkaisu

a) Carnot'n kone on tehokkain lämpövoimakone kahden lämpökylvyn välillä. Suurin koneen tuottama työ saadaan siis Carnot'n koneen hyötysuhteesta kuten edellisessä tehtävässä

\begin{equation*} W_{out} = 1000\;\mathrm{J} \left( 1 - \frac{293\;\mathrm{K}}{473\;\mathrm{K}} \right) \approx 381\;\mathrm{J} \end{equation*}

b) Jälleen hyötysuhteesta

\begin{equation*} \eta = \frac{W_{out}}{Q_h} = 1 - \frac{Q_c}{Q_h} \iff Q_c = Q_h \left( 1 - \frac{W_{out}}{Q_h} \right) \end{equation*}

joten

\begin{equation*} Q_c = 1000\;\mathrm{J} \left( 1 - \frac{381\;\mathrm{J}}{1000\;\mathrm{J}} \right) \approx 619\;\mathrm{J} \end{equation*}