LuFy Syventävää materiaalia

🔗

Alaluku 5.5 Syventävää materiaalia

🔗

Alaluku 5.5.1 Kameran optiikkaa

🔗

Katso video Kameran optiikasta.

🔗

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

🔗

1.

Linssin polttoväli on $35 m m$ ja aukon halkaisija on $7, 0 m m .$ Mikä on linssin $f$ -luku?

Ratkaisu

Kameran linssin $f$-luvun määritelmällä

\begin{equation*} f-\mathrm{luku} = \frac{f}{D} = \frac{35\,\milli\meter}{7,0\,\milli\meter} = 5 \end{equation*}

🔗

2.

Kamera ottaa oikein valottuneen kuvan asetuksilla $f / 5, 6$ ja $1 / 125 s .$ Mitä sulkimen nopeutta tulee käyttää, jos linssi vaihdetaan $f / 4, 0 :$ ksi?

Ratkaisu

Haluamme molemmissa tapauksissa saman valotusajan. Valotusaika riippuu intensiteetin ja suljinnopeuden tulosta $I\Delta t\text{.}$ Intensiteetti taas riippuu $f$-luvun neliön käänteisluvusta. Siispä

\begin{equation*} \text{valotusaika} = I\Delta t \propto \frac{1}{(f-\text{luku})^2} \Delta t. \end{equation*}

Siispä asettamalla ensimmäisen ja jälkimmäisen valotusajan yhtäsuureksi

\begin{align*} \amp\frac{1}{(f-\text{luku})^2} \Delta t = \frac{1}{(f-\text{luku})'^2} \Delta t' \\ \iff \amp \Delta t'= \frac{(f-\text{luku})'^2}{(f-\text{luku})^2} \Delta t \\ \amp= \frac{(4,0)^2}{(5,6)'^2} \frac{1}{125} \second \\ \amp= \frac{1}{245} \second \approx \frac{1}{250} \second \end{align*}

🔗

Alaluku 5.5.2 Sateenkaari

🔗

Katso video Sateenkaaren geometrista optiikkaa. Videon seuraamista helpottaa, jos tietää, miten funktion derivaattaa käytetään sen ääriarvojen ratkaisemisessa.

🔗

Alaluku 5.5.3 Haastavia tehtäviä

🔗

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

🔗

1.

Tehtävänäsi on rakentaa mikroskooppi kahdesta linssistä. Toisen linssin polttoväli on $2, 0 c m$ ja toisen $1, 0 c m .$ Päätät käyttää optisesti tehokkaampaa linssiä objektiivina ja haluat, että okulaari on $16, 0 c m :$ n etäisyydellä objektiivista.

Kuinka kaukana näytteen tulee olla objektiivista, kun mikroskooppia käytetään rennolla silmällä?
Mikä on mikroskooppisi suurennos?

Vihje

Etsi määritelmä "optical power".

Ratkaisu

Tutkitaan ensin kumpi linsseistä on tehokkaampi. Optinen teho on $P=1/f\text{.}$ Siispä

\begin{equation*} P_1 = \frac{1}{f_1} = \frac{1}{0,02\,\meter} = 50\,\meter^{-1} \quad ; \quad P_2 = \frac{1}{f_2} = \frac{1}{0,01\,\meter} = 100\,\meter^{-1}. \end{equation*}

Siispä objektiivina käytetään linssiä 2, jonka polttoväli on $f_{obj}=1,0\,\centi\meter\text{.}$ Okulaarin polttoväli on $f_{oku} = 2,0\,\centi\meter\text{.}$

(a) Katso videolla olevaa kuvaa mikroskoopista. Linssien välinen etäisyys on $L = 16\,\centi\meter\text{.}$ Objektiivin muodostaman kuvan paikka on siten $s' = 16\,\centi\meter - f_{oku} = 14\,\centi\meter\text{.}$ Nyt saamme kuvausyhtälöstä esineen etäisyyden objektiivista

\begin{equation*} s = \frac{fs'}{s'-f} = \frac{1,0\,\centi\meter \cdot 14\,\centi\meter}{14\,\centi\meter-1,0\,\centi\meter} = 1,07692\dots\centi\meter \approx 1,1\,\centi\meter. \end{equation*}

(b) Käytetään viivasuurennosta

\begin{equation*} M = m_{obj}M_{oku} = \frac{-s'}{s} \frac{25\,\centi\meter}{f_{oku}} = -160. \end{equation*}

Käyttämällä approksimaatiota

\begin{equation*} M = \frac{L}{f_{obj}} \frac{25\,\centi\meter}{f_{oku}} = -200. \end{equation*}

Tulos on samansuuntainen, mutta tälle mikroskoopille approksimaatio ei ole kovin hyvä.

🔗

2.

Osoita, että paraabelin $y = a x^{2}, a > 0,$ symmetria-akselin suuntaisesti kulkevat valonsäteet heijastuvat polttopisteeseen. Oleta, että valonsäteiden heijastumiskulma pinnan normaaliin on sama kuin tulokulma.

Vihje

Jos polttopisteen selvittäminen tuntuu haastavalta, voit käyttää tunnettua polttopistettä $(0,1/(4a))\text{.}$

Ratkaisu

Tutkitaan tilannetta, jossa valonsäde saapuu ylhäältä $y$-akselin suuntaisesti paraabeliin ja osuu pisteeseen P$=(p,ap^2)\text{.}$ Se, että tulokulma ja heijastuskulma ovat normaalin suhteen yhtä suuret, on yhtäpitävää sen kanssa, että kulmat tangenttiin verrattuna ovat myös yhtäsuuret. Merkitään tätä kulmaa $\alpha\text{:}$lla. Paraabelin tangentin kulmakerroin pisteessä P on $k=2ap\text{.}$ Yleisesti suoran ja $y$-akselin välinen kulma saadaan kulmakertoimen käänteisluvusta, joten tässä tapauksessa:

\begin{equation*} \tan\alpha = \frac{1}{2ap}. \end{equation*}

Nyt voidaan tutkia apukolmiota $\triangle FP(ap^2)\text{.}$ Merkitään etäisyyttä pisteestä $(0,ap^2)$ heijastuneen säteen ja paraabelin symmetria-akselin leikkauspisteeseen $h\text{:}$lla. Kulman $2\alpha$ voi löytää käyttämällä ristikkäiskulmien ja samankohtaisten kulmien yhtäsuuruuksia.

Apukolmiosta saamme

\begin{equation*} \tan 2\alpha = \frac{p}{h}. \end{equation*}

Kaksinkertaisen kulman tangentille

\begin{equation*} \tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}, \end{equation*}

johon voimme sijoittaa $\tan\alpha\text{:}$n, ja saamme

\begin{align*} \amp\frac{p}{h} = \frac{2\frac{1}{2ap}}{1 - \left( \frac{1}{2ap} \right)^2} = \frac{1}{ap - \frac{1}{4ap}} \\ \amp \iff \frac{h}{p} = ap - \frac{1}{4ap} \\ \amp \iff h = ap^2 - \frac{1}{4a}. \end{align*}

Nyt saamme heijastuneen säteen ja symmetria-akselin leikkauspisteen $y$-koordinaatiksi

\begin{equation*} y = ap^2 - h = ap^2 - ap^2 + \frac{1}{4a} = \frac{1}{4a} \end{equation*}

eli heijastuneet valonsäteet osuvat aina samaan pisteeseen.

Tutkitaan seuraavaksi tilannetta, jossa polttopiste tunnetaan. Tämän paraabelin polttopiste on F$=(0,\frac{1}{4a})\text{.}$ Olkoon nyt piste P$=(p,ap^2)$ piste paraabelilla. Tehtävänämme on osoittaa, että valonsäde, joka tulee $y$-akselin suuntaisesti pisteeseen P heijastuu polttopisteeseen. Tiedämme heijastumisen tapahtuvan siten, että säteen tulokulma on yhtä suuri kuin heijastumiskulma. Tulokulman ja heijastumiskulman yhtäsuuruus on yhtäpitävää sen kanssa, että säteen ja pinnan tangentin väliset kulmat ovat yhtä suuret. Paraabelin tangentin kulmakerroin on $2ax\text{,}$ jolloin pisteen P kautta kulkevan tangentin yhtälö on

\begin{equation*} y_{\mathrm{tg}} - ap^2 = 2ap(x-p) \iff y_{\text{tg}} = 2ap(x-p) + ap^2. \end{equation*}

Tämän suoran ja $y$-akselin väliselle kulmalle

\begin{equation*} \tan\alpha_1 = \frac{1}{2ap}. \end{equation*}

Polttopisteen ja pisteen P kautta kulkevan suoran yhtälö on

\begin{align*} \amp y_{\mathrm{FP}} - \frac{1}{4a} = \frac{ap^2 - \frac{1}{4a}}{p} x \\ \iff \amp y_{\mathrm{FP}} = \left( ap - \frac{1}{4ap} \right)x + \frac{1}{4a}. \end{align*}

Kahden suoran väliselle kulmalle on yhtälö

\begin{equation*} \tan\phi = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right|, \end{equation*}

johon voimme nyt sijoittaa tuntemamme suorien kulmakertoimet ja saamme

\begin{align*} \tan\alpha_2 \amp= \left| \frac{ap - \frac{1}{4ap} - 2ap}{1 + 2ap\left( ap - \frac{1}{4ap} \right)} \right| \\ \amp= \cdots \\ \amp= \left| \frac{1}{2ap} \right|. \end{align*}

Näin ollen meillä on $\tan\alpha_1 = \tan\alpha_2$ ja siten $\alpha_1 = \alpha_2\text{.}$ Olemme osoittaneet, että mikäli $y$-akselin suuntaisesti saapuva valonsäde heijastuu pisteeseen F, on tulokulma yhtä suuri kuin heijastumiskulma. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että mikäli $y$-akselin suuntaisesti saapuva valonsäde heijastuu paraabelista siten, että tulokulma on yhtäsuuri kuin heijastumiskulma, valonsäde osuu pisteeseen F.

Paraabelin polttopisteen löytämisestä voit lukea tarkemmin esim. Wikipediasta https://en.wikipedia.org/wiki/Parabola\#Definition\_as\_a\_locus\_of\_points