Siirry pääasiaan

Alaluku 2.3 Suhteellinen liike

Katso video Galilein muunnos. Kiinnitä erityistä huomiota siihen, että eri inertiaalikoordinaatistoissa olevat havaitsijat ovat kuitenkin aina samaa mieltä kappaleiden kiihtyvyyksistä. Tämä johtaa siihen, että Newtonin toisen lain mukaan havaitsijat ovat myös samaa mieltä kappaleeseen kohdistuvista voimista. Edellisen osion tehtävässä 2 selvitetyt voimat aiheuttavat siis molemmissa koordinaatistoissa samansuuruisen kiihtyvyyden laatikkoon.

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

Lentokone lentää itään nopeudella 100m/s helikopterin ohi, joka lentää pohjoiseen nopeudella 20m/s. Mikä on lentokoneen vauhti ja suunta helikopterin lentäjän näkökulmasta?

  1. Koilliseen, vähemmän kuin 100m/s

  2. Koilliseen, 100m/s

  3. Koilliseen, enemmän kuin 100m/s

  4. Kaakkoon, vähemmän kuin 100m/s

  5. Kaakkoon, 100m/s

  6. Kaakkoon, enemmän kuin 100m/s

Ratkaisu

f) Helikopterin lentäjän näkökulmasta kaikkien muiden nopeuksiin lisätään etelän suuntainen komponentti, jonka suuruus on 100m/s.

2.

Kärrystä, joka liikkuu tasaisella nopeudella vaakasuoralla tasolla, heitetään pallo suoraan ylöspäin.

Kun pallo tulee takaisin alas, laskeutuuko se heittäjän eteen, taakse, vai samaan kohtaan kuin heitettäessä? Perustele.

Muuttuuko vastauksesi, jos kärry on kiihtyvässä liikkeessä? Miksi/miksi ei?

Ratkaisu

a) Ilman ilmanvastusta pallo laskeutuu samaan kohtaan kuin heitettäessä. Jos tarkastelu tehdään kärryn mukana liikkuvassa koordinaatistossa, pallolla on nopeutta pelkästään ylöspäin ja se tulee myös suoraviivaisesti alas.

b) Jos kärry on kiihtyvässä liikkeessä, sen mukana liikkuva koordinaatisto ei ole inertiaalikoordinaatisto. Tässä tapauksessa tarkastelu voi olla helpompi tehdä maan pintaan kiinnitetyssä paikallaan olevassa koordinaatistossa. Tässä koordinaatistossa pallo saa lähtönopeuden, jonka maanpinnan suuntainen komponentti on sama kuin kärryn nopeus heittohetkellä. Kun kärry on kiihtyvässä liikkeessä, pallo jää kärrystä jälkeen, koska pallon nopeuden maanpinnan suuntainen komponentti ei muutu.

3.

Teette ystävienne kesken kokeen. Juokset suoraan eteenpäin ja sinua kohti heitetään pallot edestä ja takaa. Miten pallot tulee heittää, että sinun näkökulmastasi ne tulevat sinua kohti yhtä suurilla nopeuksilla?

Ratkaisu

Pallot tulee heittää siten, että takaapäin heitettävän pallon vauhti on suurempi kuin edestäpäin tulevan pallon ja näiden vauhtien erotus on juoksuvauhtisi.

4.

Jaat sanomalehtiä siten, että saat jättää lehdet kotioven eteen. Päätät nopeuttaa jakamista heittämällä lehden polkupyöräsi kyydistä ja yrität tähdätä mahdollisimman lähelle ovea. Jos heität oven kohdalla, pitääkö sinun tähdätä:

  1. kulkusuuntasi puolelle ovea

  2. suoraan kohti ovea

  3. hieman taaksepäin?

Ratkaisu

Sillä hetkellä, kun lehti irtoaa kädestäsi, sen nopeudella on komponentti etenemissuuntaasi. Lehti siis lentää jonkin verran siihen suuntaan, mihin olet menossa, eli sinun tulee tähdätä hieman taaksepäin.

5.

Veneellä kestää 3 tuntia matkata 30km alajuoksun suuntaan ja 5 tuntia matkata takaisin. Kuinka nopeasti vesi virtaa joessa?

Ratkaisu

Valitaan koordinaatisto siten, että vesi virtaa positiivisen x-akselin suuntaan. Merkitään veneen nopeutta veden suhteen \(v_{pv}\text{,}\) veneen nopeutta maan suhteen \(v_{pm}\) ja veden nopeutta maan suhteen \(v_{vm}\text{.}\) Meidän tulee siis saada selville \(v_{vm}\text{.}\)

\begin{align*} \amp \text{Veneen nopeus alavirtaan}: \quad \amp\amp v_{pm} = v_{pv} + v_{vm} = \frac{30\,\mathrm{km/h}}{3,0\,\mathrm{h}} = 10\,\mathrm{km/h} \\ \amp \text{Veneen nopeus ylävirtaan}: \quad \amp\amp v_{pm} = -v_{pv} + v_{vm} = -\frac{30\,\mathrm{km/h}}{5,0\,\mathrm{h}} = -6\,\mathrm{km/h} \end{align*}

Nämä yhtälöt voidaan laskea yhteen ja saadaan \(v_{vm}=4\)km/h, joten vesi virtaa 2,0 km⁄h.

6.

Lentokentällä liukukäytävän ollessa rikki, sinulla kestää 50 sekuntia kävellä portilta hakemaan matkalaukkuasi. Kun liukukäytävä toimii ja käytät sitä kävelemättä sillä, sama matka kestää 75 sekuntia. Kuinka nopeasti matka taittuu, kun kävelet koko matkan ja käytät liukukäytävää?

Ratkaisu

Valitaan koordinaatisto siten, että liike tapahtuu pelkästään \(x\)-akselin suunnassa. Merkitään matkaa portilta matkalaukulle \(\Delta x\text{:}\)llä. Olkoon kävelynopeutesi \(v\text{,}\) liukukäytävän nopeus \(u\) ja nopeutesi, kun kävelet liukukäytävällä \(v + u = w\text{.}\) Täytyy siis saada selville \(\Delta t\text{,}\) joka kuluu, kun kävelet liukukäytävää pitkin matkan \(\Delta x\text{.}\)

\begin{align*} \amp \text{Kävellen}: \quad \amp\amp v = \frac{\Delta x}{50\,\mathrm{s}}\\ \amp \text{Seisten liukukäytävällä}: \quad \amp\amp u = \frac{\Delta x}{75\,\mathrm{s}}\\ \amp \text{Kävellen liukukäytävällä}: \quad \amp\amp w = \frac{\Delta x}{\Delta t} = v + u = \frac{\Delta x}{50\,\mathrm{s}} + \frac{\Delta x}{75\,\mathrm{s}} \end{align*}

Jaetaan \(\Delta x\text{:}\)llä ja ratkaistaan \(t\text{:}\)

\begin{equation*} \frac{1}{\Delta t} = \frac{1}{50\,\mathrm{s}} + \frac{1}{75\,\mathrm{s}} \iff \Delta t = \left( \frac{1}{50\,\mathrm{s}} + \frac{1}{75\,\mathrm{s}} \right)^{-1} \iff \Delta t = 30\,\mathrm{s}\text{.} \end{equation*}
7.

Ajat autolla kohti pohjoista nopeudella 25m/s vesisateessa ja voit havaita, että vesisade on 38\(^\circ\) kulmassa pystysuunnasta. Kun hetken kuluttua ajat kotia kohti päinvastaiseen suuntaan, voit havaita, että vesi putoaakin kohtisuoraan alaspäin. Päättele näillä tiedoilla vesipisaroiden nopeus maahan nähden, suuntana kulma pystytasosta.

Ratkaisu

Merkitään autoa, vettä ja maata alaindekseillä \(a,v,m\text{.}\) Valitaan koordinaatisto siten, että auto liikkuu \(x\)-akselin suuntaisesti ja \(y\)-akseli osoittaa ylöspäin. Akselien suuntaisia yksikkövektoreita merkitään \(\hat{i},\hat{j}\text{.}\) Vesisateen nopeus suhteessa maahan on \(\vec{v}_{vm} = \vec{v}_{va} + \vec{v}_{am}\text{,}\) eli veden nopeus suhteessa autoon ynnä auton nopeus suhteessa maahan. Kun ajat pohjoiseen, auton nopeus on \(\vec{v}_{am} = (25\,\mathrm{m/s})\hat{i}\) ja veden nopeus suhteessa maahan trigonometrian avulla \(\vec{v}_{vm} = - v_v\sin\theta\hat{i} -v_v\cos\theta \hat{j}\text{,}\) eli sateen nopeus suhteessa autoon on

\begin{equation*} \vec{v}_{va} = \vec{v}_{vm} - \vec{v}_{am} = (- v_v\sin\theta - 25\,\mathrm{m/s})\hat{i} - v_v\cos\theta \hat{j}. \end{equation*}

Koska autossa istuva havaitsija näkee nyt vesisateen tulevan kulmassa \(38^\circ\text{,}\) saadaan vesisateen nopeudesta auton suhteen

\begin{equation*} \frac{-v_v \sin\theta - 25\,\mathrm{m/s}}{v_v\cos\theta} = \tan 38^\circ. \end{equation*}

Etelään päin ajaessa \(\vec{v}_{am} = -(25\,\mathrm{m/s})\hat{i}\) ja \(\vec{v}_{vm} = - v_v\sin\theta\hat{i} -v_v\cos\theta \hat{j}\text{.}\) Siispä

\begin{equation*} \vec{v}_{va} = (- v_v\sin\theta + 25\,\mathrm{m/s})\hat{i} - v_v\cos\theta \hat{j}. \end{equation*}

Koska nyt vesipisarat putoavat suoraan alaspäin, niin

\begin{equation*} \frac{-v_v \sin\theta + 25\,\mathrm{m/s}}{v_v\cos\theta} = \tan 0^\circ = 0 \implies v_v\sin\theta = 25\,\mathrm{m/s}. \end{equation*}

Voimme nyt sijoittaa tämän aiempaan lausekkeeseen tangentille

\begin{equation*} \frac{25\,\mathrm{m/s} + 25\,\mathrm{m/s}}{v_v\cos\theta} =\tan 38^\circ \implies v_v\cos\theta = \frac{50\,\mathrm{m/s}}{\tan 38^\circ} =64,0\,\mathrm{m/s}. \end{equation*}

Nyt tiedämme vesisateen \(x\)- ja \(y\)-suuntaiset komponentit maahan kiinnitetyssä koordinaatistossa ja saamme vauhdiksi

\begin{equation*} v_v^2 = (v_v\sin\theta)^2 + (v_v\cos\theta)^2 = (4721\,\mathrm{m/s})^2 \implies v_v \approx 68,7\,\mathrm{m/s} \end{equation*}

ja kulmaksi

\begin{equation*} \tan\theta = \frac{v_v\sin\theta}{v_v\cos\theta} \implies \theta = 21,3^\circ. \end{equation*}