Siirry pääasiaan

Alaluku 7.3 Maxwellin yhtälöt

Katso video Maxwellin yhtälöt.

Tutustutaan vielä kenttävirran käsitteeseen tehtävien avulla.

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

Osoita, että suureella

\begin{equation*} \epsilon_0 \frac{\dee \Phi_e}{\dee t} \end{equation*}

on sama yksikkö kuin virralla.

Ratkaisu
\begin{equation*} [\epsilon_0] \left[ \frac{\dee \Phi}{\dee t} \right] = \frac{\coulomb^2}{\newton\meter^2} \times \frac{(\newton/\coulomb)(\meter^2)}{\second} = \frac{\coulomb}{\second} = \ampere \end{equation*}
2.

Levykondensaattorin levyt ovat halkaisijaltaan 10 cm ja 1,0 mm:n etäisyydellä toisistaan. Sähkökenttä levyjen välissä kasvaa 1,0e6 V/s. Mikä on magneettikentän vuontiheys

  1. levyjen keskiakselilla

  2. 3,0 cm:n etäisyydellä akselista?

  3. 7,0 cm:n etäisyydellä akselista?

Ratkaisu

Sähkökenttä levykondensaattorin sisällä on homogeeninen. Kun kondensaattori varautuu, muuttuva sähkökenttä indusoi magneettikentän. Indusoituneen magneettikentän kenttäviivat ovat ympyröitä, joiden keskipiste on sama kuin kondensaattorien levyillä.

  1. Ampèren-Maxwellin lain mukaan

    \begin{equation*} \oint \vec{B}\cdot \dee \vec{s} = \epsilon_0\mu_0 \frac{\dee \Phi}{\dee t} = \epsilon_0\mu_0 A \frac{\dee E}{\dee t}, \end{equation*}

    jossa \(EA\) on sähkökentän vuo \(r\)-säteisen ympyrän läpi. Magneettikentän kenttäviiva on ympyrä, joten pistetulon \(\vec{B} \cdot \dee \vec{s}\) integraali \(r\)-säteisen ympyrän yli on \(B(2\pi r)\text{.}\) Ampèren-Maxwellin laista tulee

    \begin{equation*} 2\pi r B = \epsilon_0\mu_0 (\pi r^2) \frac{\dee E}{\dee t} \implies B = \epsilon_0\mu_0 \frac{r}{2} \frac{\dee E}{\dee t}. \end{equation*}

    Levyjen keskiakselilla \(r=0\,\meter\text{,}\) joten \(B=0\,\tesla\text{.}\)

  2. Kun \(r=3,0\,\centi\meter\text{,}\)

    \begin{equation*} B = \frac{1}{(3,0e8\,\meter/\second)^2} \left( \frac{0,030\,\meter}{2} \right) (1,0\eplus6\,\volt/\meter \second) = 1,67\eminus13\,\tesla \end{equation*}

  3. Kun \(r > 5,0\,\centi\meter\text{,}\) sähkökentän vuo \(\Phi\) on vuo halkaisijaltaan 10 cm:n ympyrän läpi, koska sähkökenttä levyjen ulkopuolella on \(E=0\,\volt/\meter\text{.}\) Ampèren-Maxwellin laista saadaan

    \begin{align*} B(2\pi r) \amp= \epsilon_0\mu_0 \pi R^2 \frac{\dee E}{\dee t} \\ \implies B \amp= \epsilon_0\mu_0 \frac{R^2}{2r} \frac{\dee E}{\dee t} = \frac{1}{(3,0\eplus8\meter/\second)^2} \frac{(0,050\,\meter)^2}{2(0,07\,\meter)} = 1,98\eminus13\,\tesla \end{align*}