Siirry pääasiaan

Alaluku 1.5 Rotaatioenergia ja sen säilymislaki

Katso aluksi opetus.tv:n video rotaatioenergia. Kirjoita samalla itsellesi muistiinpanot, joista käy ilmi ainakin rotaatioenergian määritelmä sanallisesti ja symbolien avulla esitettynä sekä mekaanisen energian säilymislaki.

Tee sitten seuraavat tehtävät.

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

Kiinteä ja ontto sylinteri, joiden molempien säde on \(R\) ja massa \(M\text{,}\) pyörivät keskiakselinsa ympäri samalla kulmanopeudella \(\omega\text{.}\) Kummalla on suurempi kineettinen energia?

  1. Kiinteällä sylinterillä.

  2. Ontolla sylinterillä.

  3. Kineettiset energiat ovat samansuuruiset.

  4. Kummallakaan ei ole kineettistä energiaa, koska ne ainoastaan pyörivät, eivät liiku.

(for accessibility)
Ratkaisu

b) Pyörimiseen liittyvä kineettinen energia riippuu kulmanopeudesta ja hitausmomentista. Molemmilla on sama kulmanopeus, mutta ontolla sylinterillä on suurempi hitausmomentti kuin samankokoisella umpinaisella sylinterillä.

2.

Kuvassa on kolme pyörivää samanmassaista levyä. Laita järjestykseen suurimmasta pienimpään niiden rotaatioenergiat \(K_a, K_b\) ja \(K_c\text{.}\)

(for accessibility)
Ratkaisu

\(K_{rot} = 1/2 I \omega^2\) ja levyn hitausmomentti on \(I = 1/2 M R^2\) joten

\begin{align*} K_a \amp = \frac{1}{2} \frac{1}{2} M r^2 \omega^2 = \frac{1}{4} M r^2 \omega^2\\ K_b \amp = \frac{1}{2} \frac{1}{2} M \left( \frac{1}{2} r \right)^2 (2\omega)^2 = \frac{1}{4} M \frac{1}{4} r^2 4 \omega^2 = \frac{1}{4} M r^2 \omega^2\\ K_c \amp = \frac{1}{2} \frac{1}{2} M (2r)^2 \left( \frac{1}{3} \omega \right)^2 = \frac{1}{4} M 4 r^2 \frac{1}{9} \omega^2 = \frac{1}{9} M r^2\omega^2\text{.} \end{align*}

Eli järjestys suurimmasta pienimpään on \(K_a = K_b > K_c\text{.}\)