Siirry pääasiaan

Alaluku 1.7 Syventävää materiaalia

Seuraavaksi syvennetään aiempien osioiden käsitteitä ja määritellään ne tarkasti. Videoilla siirrytään sujuvasti summista integraaleihin, mikä on fysiikassa yleistä. Tilavuuden tai massa-alkioiden yli integroimista käsiteltäessä olennaista on, että yksinkertaisissa tapauksissa moniulotteiset integraalit lasketaan laskemalla tuttuja yksiulotteisia integraaleja peräkkäin.

Alaluku 1.7.1 Johdatus jäykkien kappaleiden tarkasteluun

Katso opi fysiikkaa kanavan video Johdatus jäykän kappaleen tarkasteluun. Tee muistiinpanot, joissa vastaat kysymyksiin

  1. Milloin kappaleen muoto täytyy ottaa huomioon sitä mallinnettaessa?

  2. Milloin jäykän kappaleen approksimaatiota ei voi käyttää?

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

Pesäpallomaila leikataan kahteen osaan sen massakeskipisteen kohdalta. Kumpi osa on painavampi?

  1. Kahvaosa (vasen)

  2. Lyöntiosa (oikea)

  3. Molemmat osat painavat yhtä paljon.

(for accessibility)
Ratkaisu

b) Lyöntiosan keskipiste on lähempänä massakeskipistettä kuin kahvaosan. Siispä lyöntiosan täytyy olla painavampi (mieti vääntömomentteja).

2.

Oheinen kuva esittää massatonta tankoa, jonka päihin on kiinnitetty kaksi (pistemäistä) punnusta. Tangon pituus on 1,00m. Mikä on kappaleen massakeskipisteen etäisyys suuremmasta massasta metreinä?

(for accessibility)
Ratkaisu

Tilannetta kannattaa tarkastella siten, että tanko on x-akselilla ja toinen punnuksista origossa. Valitaan painavampi punnus origoon ja kevyempi punnus positiivisen x-akselin puolelle. Lasketaan siis massakeskipisteen x-koordinaatti käyttämällä massakeskipisteen määritelmää:

\begin{align*} x = \frac{1}{M} \sum_{i} m_i x_i = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} \amp= \frac{6\,\mathrm{kg} \cdot 0 + 2\,\mathrm{kg} \cdot 1,00\,\mathrm{m}}{6\,\mathrm{kg} + 2\,\mathrm{kg}} \\ \amp= \frac{2\,\mathrm{kgm}}{8\,\mathrm{kg}} \\ \amp= 0,25\,\mathrm{m} \end{align*}

Alaluku 1.7.2 Pyörimisliikkeen energia ja hitausmomentti

Katso opi fysiikkaa kanavan video Pyörimisliikkeen energia ja hitausmomentti. Täydennä aiemmin tekemiäsi muistiinpanoja. Miksi pyörimisen kannalta massan jakautumisella kappaleessa on merkitystä?

Katso sitten opi fysiikkaa kanavan video Hitausmomentin laskeminen. Yritä laskea videon esimerkit läpi. Seuraavaksi harjoitellaan massakeskipisteen ja hitausmomentin laskemista.

Alaluku 1.7.2.1 Moniulotteista integrointia

Oheinen kuva esittää teräksistä kiilaa katsottuna ylhäältä päin ja sivusta. Teräksen tiheys on 7860 kg⁄m3.

(for accessibility)
Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät
1.

Laske kiilan tilavuus ja massa käyttäen geometriaa.

Ratkaisu

Kiilan muotoisen kappaleen tilavuus:

\begin{equation*} V = \frac{xz}{2} y = \frac{0,20\,\mathrm{m} \cdot 0,10\,\mathrm{m}}{2} \cdot 0,15\,\mathrm{m} = 0,0015\,\mathrm{m}^3\text{.} \end{equation*}

Tilavuuden ja tiheyden avulla saamme massan

\begin{equation*} m = \rho V = 7860\,\mathrm{kg/m}^3 \cdot 0,0015\,\mathrm{m}^3 = 11,79\,\mathrm{kg}\text{.} \end{equation*}
2.

Tämän kappaleen tilavuus voidaan laskea myös lausekkeella

\begin{align*} V = \int_{y=0}^{y=y_1} \int_{x=0}^{x=x_1} \int_{z=0}^{z=g(x)} dzdxdy \amp \text{,} \end{align*}

jossa \(y_1=0,15\,\mathrm{m}\) ja \(x_1=0,20\,\mathrm{m}\) sekä funktio \(g(x) = z_1(x_1-x)/x_1\text{,}\) jossa \(z_1=0,10\,\mathrm{m}\text{.}\) Laske tämä moniulotteinen integraali integroimalla sisimmästä integraalista ulommaiseen järjestyksessä (eli ensin \(z\text{:}\)n suhteen, sitten \(x\text{:}\)n suhteen ja sitten \(y\text{:}\)n suhteen.)

Ratkaisu

Integroidaan siis. Tarvitsemme vain integroinnin perussääntöjä ja polynomin integrointia. Huomionarvoista on, että nyt \(x_1\) on tunnettu vakio ja \(x\) on muuttuja, jonka yli integroidaan.

\begin{align*} V \amp= \int_{y=0}^{y=y_1} \int_{x=0}^{x=x_1} \int_{z=0}^{z=g(x)} dzdxdy \\ \amp= \int_{0}^{y_1} \int_{0}^{x_1} g(x) dxdy \\ \amp= \int_{0}^{y_1} \int_{0}^{x_1} \frac{z_1 (x_1-x)}{x_1} dxdy \\ \amp= \int_{0}^{y_1} \Big|_{0}^{x_1} \frac{z_1}{x_1} x_1 x - \frac{1}{2} x^2 dy \\ \amp= \int_{0}^{y_1} \frac{z_1}{x_1} \left( x_1^2 - \frac{1}{2}x_1^2 \right) dy \\ \amp= \frac{z_1 x_1}{2} y_1 \\ \amp= \frac{0,20\,\mathrm{m} \cdot 0,10\,\mathrm{m}}{2} \cdot 0,15\,\mathrm{m} = 0,0015\,\mathrm{m}^3\text{.} \end{align*}
3.

Kiilan massakeskipisteen x-koordinaatti voidaan laskea lausekkeella

\begin{equation*} x_{\,\mathrm{MKP}} = \frac{1}{M} \int_{y=0}^{y=y_1} \int_{x=0}^{x=x_1} \int_{z=0}^{z=g(x)} x \, \rho \, dzdxdy. \end{equation*}

Laske massakeskipisteen x-koordinaatti.

Ratkaisu

Integroidaan järjestyksessä

\begin{align*} x_{\,\mathrm{MKP}} \amp= \int_{y=0}^{y=y_1} \int_{x=0}^{x=x_1} \int_{z=0}^{z=g(x)} x\rho dzdxdy \\ \amp= \rho \int_{0}^{y_1} \int_{0}^{x_1} \frac{z_1 (x_1-x)}{x_1} x dxdy \\ \amp= \rho \int_{0}^{y_1} \frac{z_1}{x_1} \int_{0}^{x_1} (x_1 x - x^2) dxdy \\ \amp= \rho \int_{0}^{y_1} \frac{z_1}{x_1} \Big|_{0}^{x_1} \left(\frac{1}{2}x_1 x^2 - \frac{1}{3} x^3 \right) dy \\ \amp= \rho \int_{0}^{y_1} \frac{z_1}{x_1} \left(\frac{1}{2}x_1^3 - \frac{1}{3} x_1^3 \right) dy \\ \amp= \rho \frac{1}{6} z_1 x_1^2 \Big|_{0}^{y_1} y \\ \amp= \frac{1}{6} \rho x_1^2 y_1 z_1 \\ \amp= 0,786\,\mathrm{m} \end{align*}
4.

Kiilan hitausmomentti z-akselin suhteen saadaan lausekkeesta

\begin{align*} I = \int_{y=0}^{y=y_1} \int_{x=0}^{x=x_1} \int_{z=0}^{z=g(x)} (x^2 + y^2) \, \rho \, dzdxdy \amp \text{.} \end{align*}

Laske kiilan hitausmomentti z-akselin suhteen.

Ratkaisu

Integroidaan järjestyksessä.

\begin{align*} I \amp= \int_{y=0}^{y=y_1} \int_{x=0}^{x=x_1} \int_{z=0}^{z=g(x)} (x^2+y^2)\rho dzdxdy \\ \amp= \rho \int_{0}^{y_1} \int_{0}^{x_1} (x^2+y^2) \frac{z_1 (x_1-x)}{x_1} dx dy \\ \amp= \rho \frac{z_1}{x_1} \int_{0}^{y_1} \left( \frac{1}{12} x_1^4 + \frac{1}{2} y^2 x_1^2 \right) dy \\ \amp= \rho \frac{z_1}{x_1} \left( \frac{1}{12} x_1^4 y_1 + \frac{1}{6} y_1^3 x_1^2 \right) \\ \amp= 0,167025\,\mathrm{kg/m}^2 \approx 0,17\,\mathrm{kg/m}^2\text{.} \end{align*}

Tätä voidaan verrata vaikka samankokoisen suorakulmion hitausmomenttiin samanlaisen pyörimisakselin suhteen kuin kiilalla (ks. lista hitausmomenteista)

\begin{equation*} I = \frac{1}{12} m (x_1^2 + y_1^2) + m \left( \sqrt{\frac{1}{2} (x_1^2 + y_1^2) } \right)^2 \approx 0,43\,\mathrm{kg/m}^2\text{,} \end{equation*}

joka on jonkin verran suurempi kuin kiilalla, kuten voi odottaa.

Alaluku 1.7.3 Jäykän kappaleen vieriminen

Katso opi fysiikkaa kanavan video Jäykän kappaleen vieriminen. Kirjoita muistiinpanot, joista käy ilmi ainakin vierimisehto ja vierivän kappaleen kineettinen energia. Laske videolla esitetyn tilanteen (4:50) kappaleiden vierimiseen kulunut aika.

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

Sinulla on erilaisia vieriviä kappaleita, joiden massat ja säteet ovat yhtä suuret. Totta vai tarua: Kulmakiihtyvyys samalla kaltevalla tasolla riippuu kappaleen hitausmomentista eikä välttämättä ole sama kappaleillesi.

Ratkaisu

Totta. Samalla kaltevalla tasolla kappale, jolla on pienin hitausmomentti saavuttaa suuremman nopeuden nopeammin kuin muut. Koska kappaleilla on samat säteet, tällä kappaleella on myös suurempi kulmakiihtyvyys.

2.

Sinulla on alumiininen umpinainen sylinteri, jonka massa on 128 g ja halkaisija 40,4 mm sekä teräksinen rengas, jonka massa on 132 g, ulkohalkaisija on 40,4 mm ja sisähalkaisija on 36,5 mm. Asetat rampin kaltevuuskulmaan \(\theta =\) 20 ° ja asetat sylinterin ja renkaan rampille korkeudelle 0,15 m. Laske kappaleiden nopeus rampin alapäässä. Laske myös kappaleiden vierimiseen kulunut aika. Oletetaan vastusvoimat häviävän pieniksi ja että kappaleet vierivät liukumatta.

Ratkaisu

Videolla johdetaan vapaasti vierivän kappaleen kiihtyvyys

\begin{equation*} a_x = \frac{g \sin \theta}{1+c}, \end{equation*}

jossa \(c\) on kappaleen hitausmomenttiin liittyvä kerroin. Rengas on paksuseinäinen, joten kineettistä energiaa kirjoittaessa täytyy olla huolellinen. Renkaan kineettinen energia on

\begin{align*} K_{\mathrm{rengas}} \amp= \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} mv_{\mathrm{mkp}}^2 \\ \amp= \frac{1}{2} m(r_1^2 + r_2^2) \frac{v_{\mathrm{mkp}}^2}{r_1^2} + \frac{1}{2} mv_{\mathrm{mkp}}^2 \\ \amp= \frac{1}{2} mv_{\mathrm{mkp}}^2 \left(1+\frac{r_2^2}{r_1^2} \right) \end{align*}

Nyt meillä on siis selvillä

\begin{equation*} c_{\mathrm{sylinteri}} = \frac{1}{2} \quad c_{\mathrm{rengas}} = \frac{r_2^2}{r_1^2} \end{equation*}

Massakeskipisteen loppunopeus on

\begin{equation*} v_{\mathrm{mkp}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+c}}. \end{equation*}

Tunnemme nyt kiihtyvyyden, alkunopeuden ja loppunopeuden, joten voimme ratkaista vierimiseen kuluvan ajan

\begin{align*} \amp v = v_0 + a t \\ \iff \amp\sqrt{\frac{2gh}{1+c}} = \frac{g \sin \theta}{1+c} t \\ \iff \amp t = \sqrt{\frac{2gh}{1+c}} \frac{1+c}{g \sin \theta} \\ \amp= \sqrt{\frac{2gh(1+c)}{(g \sin \theta)^2}} \end{align*}

Annetuilla arvoilla

\begin{align*} v_\mathrm{sylinteri} \amp= 1,4\mathrm{m/s} \\ t_\mathrm{sylinteri} \amp= 1,6\mathrm{s} \\ v_\mathrm{rengas} \amp\approx 1,3\mathrm{m/s}\\ t_\mathrm{rengas} \amp\approx 1,8\mathrm{s} \text{.} \end{align*}