Siirry pääasiaan

Alaluku 2.5 Syventävää materiaalia

Alaluku 2.5.1 Sähkömagnetismia

Liikkuva varaus luo magneettikentän. Toisaalta paikallaan olevalla varauksella on staattinen sähkökenttä. Jos siis varaus liikkuu tasaisella nopeudella ja kiinnitämme koordinaatiston maahan, havaitsemme sekä magneettikentän, että sähkökentän. Jos taas siirrymme varauksen mukana liikkuvaan koordinaatistoon, havaitsemme enää vain sähkökentän. Mistä siis on kyse?

Entäpä siinä tapauksessa, kun varaus liikkuu tasaisella nopeudella homogeenisessa magneettikentässä? Magneettikentässä liikkuvaan varaukseen kohdistuu voima. Toisaalta taas liikkuvan varauksen mukana liikkuvassa koordinaatistossa varaus on paikallaan magneettikentässä, jolloin siihen ei kohdistu voimaa.

Tämä näennäinen paradoksi johtuu siitä, että magneettikentät ja niiden aiheuttamat voimat riippuvat nopeuksista, mutta tähän mennessä olemme oppineet, että nopeus riippuu koordinaatiston valinnasta. Ratkaisu tähän ongelmaan onkin, että sähkö- ja magneettikentät eivät ole toisistaan erillisiä ilmiöitä, vaan ovat saman ilmiön erilaisia ilmentymiä.

Nämä ideat esitellään videolla Galilein kenttämuunnokset. Videolla johdetaan kenttämuunnokset sähkö- ja magneettikentille toistensa suhteen tasaisella nopeudella liikkuvissa koordinaatistoissa.

Alaluku 2.5.2 Haastavia tehtäviä

Harjoitustehtävät Harjoitustehtävät

1.

Tivolissa on peli, jossa tarkoituksena on liu'uttaa kiekkoa lähes kitkattomalla rampilla siten, että palkinnon saa mikäli kiekko käy vähintään 10cm:n päässä rampin reunasta menemättä kuitenkaan reunan yli. Työnnät kiekon liikkeelle vauhdilla 5,0m/s ja päästät irti, kun kiekko on 8,5m:n päässä rampin reunasta. Kun kiekko on matkannut 3m, sen vauhti on 4,0m/s. Saatko palkinnon?

Ratkaisu

Piirretään kuva tilanteesta.

Tehtävänannosta tunnemme suureet \(x_0,t_0,v_0,x_1,v_1,v_2\) ja tehtävänä on löytää \(x_2\text{.}\) Kiekon kiihtyvyys on vakio ja voidaan saada selville, kun tiedämme siirtymän ja alku- ja loppunopeudet:

\begin{align*} v_1^2 \amp= (v_0 + at)^2 = v_0^2 + 2v_0at + a^2t^2\\ \amp = v_0^2 + 2a(v_0t + \puoli a t^2) = v_0^2 + 2a\Delta x\\ \implies\amp (4,0\,\mathrm{m/s})^2 = (5,0\,\mathrm{m/s})^2 + 2a(3,0\,\mathrm{m})\\ \iff \amp a = -1,5\,\mathrm{m/s}^2\text{.} \end{align*}

Voimme myös määrittää ajan, jossa kiekko pysähtyy

\begin{equation*} v_2 = v_0 + a(t_2-t_0) \implies 0\,\mathrm{m/s} = 5,0\,\mathrm{m/s} +(1,5\,\mathrm{m/s}^2)t_2 \implies t_2 = 3,3\,\mathrm{s} \end{equation*}

Nyt voimme käyttää löytämiämme kiihtyvyyden ja ajan arvoja selvittääksemme kiekon pysähtymispaikan \(x_2\text{:}\)

\begin{align*} x_2 \amp= x_0 + v_0(t_2-t_0) + \puoli a(t_2-t_0)^2\\ \amp= 0\,\mathrm{m} + (5,0\,\mathrm{m/s})(3,3\,\mathrm{s}) + \puoli (-1,5\,\mathrm{m/s}^2)(3,3\,\mathrm{s})\\ \amp= 8,3\,\mathrm{m}\text{.} \end{align*}

Koska päästit kiekosta irti 8,5m:n päässä rampin reunasta ja kiekko liikkuu 8,3m, kiekko jää 0,2m:n päähän rampin reunasta ja jäät palkinnotta.

2.

Tehokas laboratoriomagneetti on pöydällä siten, että 1,0T:n suuruinen magneettikenttä osoittaa suoraan ylöspäin. Tutkija lentää laboratorion ohi raketilla 1000m/s maan pinnan suuntaisesti. Millaiset kentät raketilla lentävä tutkija mittaa magneetin napojen välillä?

Ratkaisu

Koordinaatiston B nopeus suhteessa koordinaatistoon A on \(\vec{v}_{BA} = 1000 \hat{i}\)m/s. Käytetään Galilein kenttämuunnoksia kenttien selvittämiseen koordinaatistossa B. Sähkökentälle

\begin{equation*} \vec{E}_B = \vec{E}_A + \vec{v}_{BA} \times \vec{B}_{A} = \vec{v}_{BA} \times \vec{B}_{A}. \end{equation*}

Voimme käyttää ristitulon laskemiseen oikean käden sääntöä, jolla saamme sähkökentän suunnaksi $z$-akselin suunnan sivusta ulospäin. Koska raketin nopeus ja magneettikenttä ovat kohtisuorassa toisiaan vasten, tulee ristitulosta

\begin{equation*} \vec{E}_B = v_{BA}B_A \hat{k} = (1000\,\mathrm{V/m})\hat{k}. \end{equation*}

Samaan tapaan magneettikentälle

\begin{equation*} \vec{B}_B = \vec{B}_A - \frac{1}{c^2}\vec{v}_{BA} \times \vec{E}_A = 1,0\,\mathrm{T} \hat{j} \end{equation*}

Raketilla lentävät tutkijat mittaavat siis

\begin{equation*} \vec{E}_B = (1000\,\mathrm{V/m})\hat{k} \quad \,\mathrm{ja} \quad \vec{B}_B = 1,0\,\mathrm{T}\hat{j}. \end{equation*}
4.

Tutustu kysymykseen, jossa pohditaan liikemäärän säilymiseen liittyvää tehtävää. Kysymyksen vastauksessa tehtävä on ratkaistu kolmessa eri koordinaatistossa. Eri näkökulmilla päädytään aina samaan ratkaisuun, mutta jostain näkökulmasta tilanne voi olla helpompi hahmottaa, kun taas toisesta näkökulmasta saadaan helpommat laskut.

Ratkaisu